Uslovna nezavisnost

U teoriji verovatnoće, uslovna nezavisnost opisuje situacije u kojima je posmatranje irelevantno ili suvišno kada se ocenjuje sigurnost hipoteze. Uslovna nezavisnost se obično formuliše u terminima uslovne verovatnoće,^[1][2][3] kao poseban slučaj gde je verovatnoća hipoteze datog neinformativnog posmatranja jednaka verovatnoći bez njega. Ako je ${\displaystyle A}$ hipoteza, a ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ su zapažanja, uslovna nezavisnost se može navesti kao jednakost:

${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$

gde je ${\displaystyle P(A\mid B,C)}$ verovatnoća da je ${\displaystyle A}$ za dato ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$. Pošto je verovatnoća za ${\displaystyle A}$ za dato ${\displaystyle C}$ ista kao verovatnoća za ${\displaystyle A}$ za dato ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$, ova jednakost izražava da ${\displaystyle B}$ ništa ne doprinosi izvestnosti od ${\displaystyle A}$. U ovom slučaju, kaže se da su ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ uslovno nezavisni za dato ${\displaystyle C}$, napisano simbolično kao: ${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$. Na jeziku notacije kauzalne jednakosti, opisane su dve funkcije: ${\displaystyle f(y)}$ i ${\displaystyle g(y)}$, koje obe zavise od zajedničke promenljive ${\displaystyle y}$ kao uslovno nezavisne korišćenjem notacije ${\displaystyle f\left(y\right)~{\overset {\curvearrowleft \curvearrowright }{=}~g\left(y\right)}$, što je ekvivalentno notaciji ${\displaystyle P(f\mid g,y)=P(f\mid y)}$.

Koncept uslovne nezavisnosti je od suštinskog značaja za teorije statističkog zaključivanja zasnovane na grafovima, jer uspostavlja matematičku relaciju između kolekcije uslovnih iskaza i grafoida.

Neka su ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, i ${\displaystyle C}$ događaji. Za ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ se kaže da su uslovno nezavisni za dato ${\displaystyle C}$ ako i samo ako je ${\displaystyle P(C)>0}$ i:

${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$

Ovo svojstvo se obično zapisuje kao: ${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$, što se čita kao ${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\vert C)}$.

Ekvivalentno, uslovna nezavisnost se može navesti kao:

${\displaystyle P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C)}$

gde je ${\displaystyle P(A,B|C)}$ zajednička verovatnoća za ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ za dato ${\displaystyle C}$.^[4] Ova alternativna formulacija navod da su ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nezavisni događaji,^[5][6] za dato ${\displaystyle C}$.

To pokazuje da je ${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$ ekvivalentno ${\displaystyle (B\perp \!\!\!\perp A\mid C)}$.

${\displaystyle P(A,B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)}$

ako je ${\displaystyle {\frac {P(A,B,C)}{P(C)}=\left({\frac {P(A,C)}{P(C)}\right)\left({\frac {P(B,C)}{P(C)}\right)}$      (definicija uslovne verovatnoće)

ako je ${\displaystyle P(A,B,C)={\frac {P(A,C)P(B,C)}{P(C)}$       (pomnože se obe strane sa ${\displaystyle P(C)}$)

ako je ${\displaystyle {\frac {P(A,B,C)}{P(B,C)}={\frac {P(A,C)}{P(C)}$       (podele se obe strane sa ${\displaystyle P(B,C)}$)

ako je ${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$       (definicija uslovne verovatnoće) ${\displaystyle \therefore }$

• Mediji vezani za članak Uslovna nezavisnost na Vikimedijinoj ostavi