Digammafunktionen

Digammafunktionen är en speciell funktion som definieras som gammafunktionens logaritmiska derivata:

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}.}$

Digammafunktionen är relaterad till harmoniska talen enligt

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}$

där H_n är set n:te harmoniska talet, och γ är Eulers konstant.

Om reella delen av ${\displaystyle x}$ är positiv kan digammafunktionen skrivas som integralerna

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}{t}-{\frac {e^{-xt}{1-e^{-t}\right)\,dt}$

och

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}{1-x}dx.}$

Det finns ett flertal oändliga serier för digammafunktionen:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots }$

Taylorserien är

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}$,

som konvergerar för |z|<1. En annan serie är

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{k}{s \choose k}.}$

Digammfunktionen satisfierar reflektionsformeln

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}.}$

För positiva heltal m och k med m < k gäller

${\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}\cot \left({\frac {m\pi }{k}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}\right)\right).}$

Digammafunktionen kan approximeras som

${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}-{\frac {1}{12x^{2}+{\frac {1}{120x^{4}-{\frac {1}{252x^{6}+{\frac {1}{240x^{8}-{\frac {5}{660x^{10}+{\frac {691}{32760x^{12}-{\frac {1}{12x^{14}+O\left({\frac {1}{x^{16}\right)}$

som är början av dess asymptotiska expansion. Hela expansionen ges av

${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}=\ln(x)-{\frac {1}{2x}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}{2n\,x^{2n}$

där ${\displaystyle B_{k}$ är det k-te Bernoullitalet och ${\displaystyle \zeta }$ är Riemanns zetafunktion.

${\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}\right)=-2\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}-{\frac {3}{2}\ln {3}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}\right)=-{\frac {\pi }{2}-3\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}\right)=-{\frac {\pi }{2}{\sqrt {3}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}\ln(3)-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}\right)=-{\frac {\pi }{2}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2})-\ln(2-{\sqrt {2})\right\}-\gamma }$

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Digamma function, 15 november 2013.

• Wikimedia Commons har media som rör Digammafunktionen.
  Bilder & media