Riemanns xi-funktion
Riemanns xi-funktion
ξ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)}
komplexa planet . Färgen på en punkt
s
{\displaystyle s}
argument . Inom matematiken är Riemanns xi-funktion , uppkallad efter Bernhard Riemann , en variant av den mer kända Riemanns zetafunktion .
Definition
Riemanns xi-funktion definieras som
ξ
(
s
)
=
1
2
s
(
s
−
1
)
π
−
s
/
2
Γ
(
1
2
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}s\right)\zeta (s)}
för
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
s ) är Riemanns zetafunktion . Funktionalekvationen för xi är
ξ
(
1
−
s
)
=
ξ
(
s
)
.
{\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).}
För positiva heltal n är
ξ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
1
(
2
n
)
!
B
2
n
2
2
n
−
1
π
n
(
2
n
2
−
n
)
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!}
där Bn är det n -te Bernoullitalet . Exempelvis är
ξ
(
2
)
=
π
6
.
{\displaystyle \xi (2)={\pi \over 6}.}
Några andra speciella värden är
ξ
(
0
)
=
ξ
(
1
)
=
−
ζ
(
0
)
=
1
2
{\displaystyle \xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)={\frac {1}{2}
ξ
(
1
/
2
)
=
−
ζ
(
1
/
2
)
⋅
Γ
(
1
/
4
)
8
π
1
4
=
0
,
4971207781...
{\displaystyle \xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot {\frac {\Gamma (1/4)}{8\pi ^{\frac {1}{4}=0,4971207781...}
A114720 i OEIS )
ξ
(
3
)
=
3
2
π
ζ
(
3
)
{\displaystyle \xi (3)={\frac {3}{2\pi }\,\zeta (3)}
ξ
(
5
)
=
15
2
π
2
ζ
(
5
)
.
{\displaystyle \xi (5)={\frac {15}{2\pi ^{2}\,\zeta (5).}
Serierepresentation
Xi-funktionen har serierepresentationen
d
d
z
ln
ξ
(
−
z
1
−
z
)
=
∑
n
=
0
∞
λ
n
+
1
z
n
{\displaystyle {\frac {d}{dz}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}
där
λ
n
=
1
(
n
−
1
)
!
d
n
d
s
n
[
s
n
−
1
log
ξ
(
s
)
]
|
s
=
1
=
∑
ρ
[
1
−
(
1
−
1
ρ
)
n
]
{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}\left.{\frac {d^{n}{ds^{n}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }\right)^{n}\right]}
där summan går över de icke-triviala rötterna ρ av zetafunktionen, ordnade enligt
|
ℑ
(
ρ
)
|
{\displaystyle |\Im (\rho )|}
Denna expansion har en viktig roll i Lis kriterium som säger att Riemannhypotesen är ekvivalent med att λn n .
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Riemann Xi function , 17 december 2013 .
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd
![{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}\left.{\frac {d^{n}{ds^{n}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }\right)^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1cc8ce410f4823093d0fefd7f900386bcc407e)
