Sturaro gjorde sin Serie A-debut för Genoa den 25 augusti 2013 mot Inter.[1] Han byttes in i den 89:e minuten mot Isaac Cofie i klubbens 2–0-förlust.[2] Sitt första Serie A-mål och mål för Genoa gjorde han den 2 mars 2014 i en 2–0-seger mot Catania.[1]
Den 23 januari 2021 lånades Sturaro ut av Genoa till Hellas Verona på ett låneavtal över resten av säsongen 2020/2021.[3]