ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย — ให้ ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ แล้ว จะมี ${\displaystyle c}$ อยู่ในช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ ที่ทำให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด ${\displaystyle c}$ ขนานกับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด ${\displaystyle (a,f(a))}$ และ ${\displaystyle (b,f(b))}$ หรืออีกนัยหนึ่ง^[1]

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}$

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชี — ให้ ${\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ แล้ว จะมี ${\displaystyle c}$ อยู่ในช่วงเปิด ${\displaystyle (a,b)}$ ที่ทำให้

$${\displaystyle (g(b)-g(a))f'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)}$$