Sferik funktsiälärneñ berençe harmonikaları vizual' küreneşe. Zäñgär öleş - uñay bilge, sarı - tiskäre bilge. Sferik funktsiälär küreneşe - atom orbitalläre küreneşenä turı kilä Sferik funktsiälär - kvant , atom-töş häm gravitatsiä fizikasında kiñ qullanıla torğan funktsiälär - Laplas tigezlämäläre ğailäseneñ sferik koordinatlarda yazılğan ortogonal' çişeleşläreneñ öleşe.
Sferik funktsiälär differentsial' tigezlämälär teoriäsendä, teoretik fizikada, xosusan atomdağı elektron orbitallären isäpläwdä, geoid gravitatsion qırın, planetalar magnit qırın, relikt nurlanışın xisaplawda kiñ qullanıla.
Taswir
Sferik funktsiälär
Y
l
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\varphi )}
Laplas tigezlämäse:
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
+
∂
2
u
∂
z
2
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}=0}
yäki
Δ
u
=
0
{\displaystyle \Delta u=0}
biredä Laplas operatorı:
Δ
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
+
.
.
.
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}{\partial x^{2}+{\frac {\partial ^{2}{\partial y^{2}+{\frac {\partial ^{2}{\partial z^{2}+...}
Ortonormik sistema
⟨
Y
l
m
;
Y
l
m
⟩
=
∬
|
Y
l
m
|
2
sin
θ
d
θ
d
φ
=
1
{\displaystyle \langle Y_{lm};Y_{lm}\rangle =\iint |Y_{lm}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}
⟨
Y
l
m
;
Y
l
′
m
′
⟩
=
∫
0
2
π
∫
0
π
Y
l
′
m
′
∗
Y
l
m
sin
θ
d
θ
d
φ
=
δ
l
l
′
δ
m
m
′
{\displaystyle \langle Y_{lm};Y_{l'm'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'm'}^{*}Y_{lm}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}
biredä
δ
l
l
′
{\displaystyle \delta _{ll'}
Sferik funktsiälär küreneşe:
Y
l
m
=
1
2
π
e
i
m
φ
Θ
l
m
(
θ
)
{\displaystyle Y_{lm}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )}
Θ
l
m
(
θ
)
{\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}
1
sin
θ
d
d
θ
(
sin
θ
d
Θ
l
m
d
θ
)
−
m
2
sin
2
θ
Θ
l
m
+
l
(
l
+
1
)
Θ
l
m
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }{\frac {d}{d\theta }\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}{d\theta }\right)-{\frac {m^{2}{\sin ^{2}{\theta }\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{lm}=0}
Θ
l
m
=
(
−
1
)
m
2
l
+
1
2
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle \Theta _{lm}=(-1)^{m}{\sqrt {\frac {2l+1}{2}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(\cos \theta )}
biredä
P
l
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}
m
!
{\displaystyle m!}
Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 — математические дополнения
Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с. 
