Закон Стефана — Больцмана

Частина циклу статей про
Випромінювання чорного тіла
Поняття: абсолютно чорне тіло теплове випромінювання закон Кірхгофа
Основні формули: Планка зміщення Віна Стефана — Больцмана
Історичні закони: наближення Віна[en] закон Релея — Джинса ультрафіолетова катастрофа гіпотеза Планка
п о р

Закон Стефана — Больцмана — інтегральний закон випромінювання абсолютно чорного тіла, який стверджує, що енергія випромінювання з одиниці площі поверхні абсолютно чорного тіла за одиницю часу пропорційна четвертому степеню ефективної температури випромінювального тіла.

Загальна енергія теплового випромінювання з одиниці площі поверхні за одиницю часу визначається як:

${\displaystyle F=\sigma T^{4}\,\!}$,

де ${\displaystyle F}$ — потужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}{15c^{2}h^{3}\simeq 5,6704\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана — Больцмана.

Інтесивність випромінювання енергії абсолютно чорним тілом залежно від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

${\displaystyle B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}{c^{2}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}-1},}$ де

${\displaystyle B(\nu ,T)d\nu \,}$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні за одиницю часу на одиницю тілесного кута на частоті ν абсолютно чорним тілом з температурою T;

${\displaystyle h\,}$ — стала Планка;

${\displaystyle c\,}$ — швидкість світла;

${\displaystyle k\,}$ — стала Больцмана.

Потік випромінювання визначається через інтенсивність як ${\displaystyle F(\nu ,T)=\pi B(\nu ,T)}$.

Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах усіх можливих значень частоти:

${\displaystyle F(T)=\int _{0}^{\infty }\pi B(\nu ,T)d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi h\nu ^{3}{c^{2}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}-1}d\nu ={\frac {2\pi h}{c^{2}\left({\frac {kT}{h}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}{e^{x}-1}dx,}$

де виконано заміну змінної інтегрування ${\displaystyle \nu ={\frac {kTx}{h}$ й, відповідно, ${\displaystyle d\nu ={\frac {kT}{h}dx}$.

Отриманий інтеграл є табличним і дорівнює ${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}{15}$, тому:

${\displaystyle F(T)={\frac {2h\pi ^{5}{15c^{2}\left({\frac {kT}{h}\right)^{4}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}{15c^{2}h^{3}T^{4}=\sigma T^{4},}$

де ${\displaystyle \sigma \,}$ — стала Стефана — Больцмана.

• Основні закони теплового випромінювання — Основи теплотехніки та гідравліки [Архівовано 10 серпня 2021 у Wayback Machine.]
• Закон Стефана Больцмана. Закон Віна. — studopedia.com.ua [Архівовано 10 серпня 2021 у Wayback Machine.]
• гол.ред. А. М. Прохоров. Физическая энциклопедия. — Москва : "Советская энциклопедия", 1988. — Т. 4. — С. 689-690. — ISBN 5-85270-034-7.
• Stefan, J. (1879), Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur [On the relationship between heat radiation and temperature] (PDF), Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (нім.), 79: 391—428, архів оригіналу (PDF) за 2 квітня 2021, процитовано 10 серпня 2021
• Boltzmann, L. (1884), Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie [Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light], Annalen der Physik und Chemie (нім.), 258 (6): 291—294, Bibcode:1884AnP...258..291B, doi:10.1002/andp.18842580616

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.