Квадратична ірраціональність

Квадрати́чна ірраціона́льність — ірраціональне число, яке є дійсним коренем деякого квадратного рівняння ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ з раціональними коефіцієнтами ${\displaystyle a,b,c}$ (або, що те саме, дійсним коренем многочлена 2-го степеня з раціональними коефіцієнтами^[1] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$). У частині джерел під квадратичними ірраціональностями розуміють у загальному випадку комплексні корені зазначених рівнянь.

Ірраціональність числа ${\displaystyle x}$ означає, що його не можна подати у вигляді раціонального числа (дробу). З цього випливає, що многочлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ незвідний до поля раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ тобто не розпадається в цьому полі на множники першого степеня^[1].

Розв'язок квадратного рівняння ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ дає формула: де ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ (дискримінант рівняння). Дійсність кореня означає, що ${\displaystyle D\geqslant 0.}$ Отже, будь-яка квадратична ірраціональність має вигляд:

${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D},}$

де ${\displaystyle u,v,D}$ — раціональні числа, причому ${\displaystyle v\neq 0}$, а підкореневий вираз ${\displaystyle D}$ невід'ємний і не є повним квадратом раціонального числа^[2].

Приклад: ${\displaystyle 11-{\sqrt {2};\quad {\frac {1+{\sqrt {5}{2}$.

З визначення випливає, що квадратичні ірраціональності є алгебричними числами другого степеня. Відзначимо, що обернений елемент для ${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}$ також є квадратичною ірраціональністю:

${\displaystyle {1 \over u+v{\sqrt {D}={u-v{\sqrt {D} \over u^{2}-v^{2}D}.}$

Число ${\displaystyle x'=u-v{\sqrt {D}$ називають спряженим для ${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}.}$ Виконуються формули:

${\displaystyle (x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}\right)'={\frac {1}{x'}.}$

Без обмеження загальності можна спростити рівняння ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ наступним чином.

1. Коефіцієнти розглянутого рівняння 2-го степеня можна зробити цілими числами, оскільки від знаменників дробів легко позбутися, помноживши обидві частини рівняння на найменше спільне кратне всіх знаменників. Дискримінант ${\displaystyle D}$ тоді теж стає цілим числом.
2. Якщо старший коефіцієнт ${\displaystyle a<0,}$ то помножимо рівняння на ${\displaystyle -1}$.
3. Нарешті, поділимо отримане рівняння ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ на найбільший спільний дільник НСД${\displaystyle (a,b,c)}$.

У підсумку отримаємо рівняння ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ з цілочисельними взаємно простими коефіцієнтами, причому старший коефіцієнт додатний^[3]. Це рівняння однозначно пов'язане з парою своїх коренів, і множина таких рівнянь зліченна. Тому множина квадратичних ірраціональностей також зліченна.

Часто зручно у виразі кореня ${\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}$ виконати ще одну модифікацію: якщо в канонічний розклад ${\displaystyle D}$ входять будь-які квадрати, винесемо їх за знак кореня, так що значення ${\displaystyle D}$ буде вільним від квадратів.

Сума, різниця і добуток квадратичних ірраціональностей з одним і тим самим дискримінантом ${\displaystyle D}$ або мають той самий формат, або є раціональними числами, тому разом вони утворюють поле, яке є нормальним розширенням другого степеня поля раціональних чисел ℚ. Це поле позначають ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D})}$ і називають квадратичним полем. Будь-яке таке розширення ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ можна отримати описаним способом. Група Галуа розширення, крім тотожного автоморфізму, містить відображення ірраціонального числа в спряжене йому (в зазначеному вище сенсі)^[4].

Припустимо, що, як описано вище, ${\displaystyle D}$ — вільне від квадратів ціле число. Тоді для різних значень ${\displaystyle D}$ виходять різні квадратичні поля^[5].

Для квадратичного поля можна побудувати його кільце цілих, тобто множину коренів зведених многочленів з цілими коефіцієнтами, у яких старший коефіцієнт дорівнює 1. Вільне від квадратів ${\displaystyle D}$ не може ділитися на 4, тому можливі два випадки^[4], залежно від того, яку остачу дає ${\displaystyle D}$ при діленні на 4.

1. Якщо ${\displaystyle D}$ має вигляд ${\displaystyle 4k+1,}$ то цілі елементи — це числа вигляду ${\displaystyle m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}{2}$, де ${\displaystyle m,n}$ — натуральне число.
2. Якщо ${\displaystyle D}$ має вигляд ${\displaystyle 4k+2}$ або ${\displaystyle 4k+3,}$ то цілі елементи — це числа вигляду ${\displaystyle m+n{\sqrt {D}$, де ${\displaystyle m,n}$ — натуральне число.

Дійсні квадратичні ірраціональності пов'язані з неперервними дробами теоремою Лагранжа (іноді званою теоремою Ейлера — Лагранжа)^[6]:

Приклад: Неперервний дріб, період якого починається з першої ж ланки, називають чисто періодичним. Еварист Галуа 1828 року довів: неперервний дріб для квадратичної ірраціональності ${\displaystyle x}$ буде чисто періодичним тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle x>1}$, а спряжена ірраціональність ${\displaystyle x'}$ лежить в інтервалі ${\displaystyle (-1;0)}$. Він довів також, що в разі чисто періодичного розкладу спряжена квадратична ірраціональність має ті ж ланки, але розташовані в зворотному порядку^[7].

Квадратична ірраціональність є окремим випадком «ірраціональності ${\displaystyle n}$-го степеня», яка є коренем незвідного в полі ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ многочлена ${\displaystyle n}$-го степеня з цілими коефіцієнтами. Раціональні числа виходять при ${\displaystyle n=1,}$ а квадратичні ірраціональності відповідають випадку ${\displaystyle n=2.}$

Деякі джерела відносять до квадратичних ірраціональностей також і комплексні корені квадратних рівнянь (наприклад, гауссові цілі числа або числа Ейзенштейна).

Г. Ф. Вороний у роботі «Про цілі алгебричні числа, що залежать від кореня рівняння 3-го степеня» (1894) поширив теорію (включно з неперервними дробами) на випадок кубічних ірраціональностей.

Феодор Кіренський і його учень Тетет Афінський^[ru] (IV ст. до н. е.) першими довели, що якщо число ${\displaystyle N}$ не є повним квадратом, то ${\displaystyle {\sqrt {N}$ не є раціональним числом, тобто його не можна точно виразити у вигляді дробу. Це доведення спиралося на «лему Евкліда». Евклід присвятив цим питанням десяту книгу своїх «Начал»; він, як і сучасні джерела, використовував основну теорему арифметики.

• Бухштаб А. А. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби // Теория чисел. — 4-е изд. — М. : Лань, 2015. — 384 с. — ISBN 978-5-8114-0847-4. (рос.)
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М. : Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4. (рос.)
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960. Архівовано з джерела 2 Листопада 2021 (рос.)

• Weisstein, Eric W. Квадратична ірраціональність(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Continued fraction calculator for quadratic irrationals [Архівовано 18 Лютого 2020 у Wayback Machine.] (англ.)
• Proof that e is not a quadratic irrational (англ.)