Кватерніони і повороти простору

Кватерніон ${\displaystyle \ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk}$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

${\displaystyle \ \mathbf {q} =(s,{\vec {v}),\quad s=a,\quad {\vec {v}=(b,c,d)}$,

множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:

${\displaystyle \ \mathbf {q_{1}q_{2} =(s_{1},{\vec {v_{1})(s_{2},{\vec {v_{2})=(s_{1}s_{2}-{\vec {v_{1}\cdot {\vec {v_{2},\;\;s_{1}{\vec {v_{2}+s_{2}{\vec {v_{1}+{\vec {v_{1}\times {\vec {v_{2}).}$

Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:

${\displaystyle \ {\vec {v_{1}\times {\vec {v_{2}={\mathbf {q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1} \over 2}.}$

Покажемо що результатом повороту вектора ${\displaystyle \ {\vec {v}$ на кут ${\displaystyle \ \alpha }$ відносно осі ${\displaystyle \ {\vec {u}$ (одиничний вектор) буде: ${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {qvq^{-1} }$, де

${\displaystyle \mathbf {v} =(0,\;\;{\vec {v})}$ — чисто векторний кватерніон,

${\displaystyle \mathbf {u} =(0,\;\;{\vec {u})}$ — чисто векторний кватерніон,

${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2},\;\;{\vec {u}\sin {\frac {\alpha }{2}\right),\qquad |\mathbf {q} |=1,\quad \mathbf {q^{-1}=\mathbf {q^{*} } .}$

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:

${\displaystyle \mathbf {q} =\cos {\frac {\alpha }{2}+\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2};}$

${\displaystyle \mathbf {q^{-1} =\cos {\frac {\alpha }{2}-\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2}.}$

Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

${\displaystyle \ \mathbf {uvu} =({\vec {u}\times {\vec {v})\times {\vec {u}-({\vec {u}\cdot {\vec {v}){\vec {u}={\vec {v}-2{\vec {u}({\vec {u}\cdot {\vec {v}).}$

Обчислимо добуток:

${\displaystyle \mathbf {v} '=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}+\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2}\right)\;\mathbf {v} \;\left(\cos {\frac {\alpha }{2}-\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2}\right)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {v} '&=&-\mathbf {uvu} \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}&+&\mathbf {v} \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}&+&(\mathbf {uv-vu} )\sin {\frac {\alpha }{2}\cos {\frac {\alpha }{2}\\&=&(2{\vec {u}({\vec {u}\cdot {\vec {v})-{\vec {v})\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}&+&{\vec {v}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}&+&({\vec {u}\times {\vec {v})(2\sin {\frac {\alpha }{2}\cos {\frac {\alpha }{2})\\&=&{\vec {u}({\vec {u}\cdot {\vec {v})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2})&+&{\vec {v}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2})&+&({\vec {u}\times {\vec {v})\sin \alpha \\&=&{\vec {u}({\vec {u}\cdot {\vec {v})(1-\cos \alpha )&+&{\vec {v}\cos \alpha &+&({\vec {u}\times {\vec {v})\sin \alpha \\&=&{\vec {u}({\vec {u}\cdot {\vec {v})&+&({\vec {v}-{\vec {u}({\vec {u}\cdot {\vec {v}))\cos \alpha &+&({\vec {u}\times {\vec {v})\sin \alpha \\&=&{\vec {v}_{\|}&+&{\vec {v}_{\bot }\cos \alpha &+&({\vec {u}\times {\vec {v}_{\bot })\sin \alpha ,\end{matrix}$

де ${\displaystyle {\vec {v}_{\|}$ та ${\displaystyle {\vec {v}_{\bot }$ компоненти вектора ${\displaystyle {\vec {v}$ паралельні і перпендикулярні до ${\displaystyle {\vec {u}$ відповідно:

• ${\displaystyle {\vec {v}={\vec {v}_{\|}+{\vec {v}_{\bot }$
• ${\displaystyle {\vec {u}\;\|\;{\vec {v}_{\|}$
• ${\displaystyle {\vec {u}\;\bot \;{\vec {v}_{\bot }.}$

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.

Обчислення результату двох поворотів

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту ${\displaystyle \mathbf {R=R_{2}R_{1} }$	9	27	18
Кватерніон ${\displaystyle \mathbf {q=q_{2}q_{1} }$	4	16	12

Обчислення повороту точки

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту ${\displaystyle \mathbf {v'=Rv} }$	9	9	6
Кватерніон ${\displaystyle \mathbf {v'=qvq^{-1} }$	4	15	12

• Поворотові за допомогою одиничного кватерніона ${\displaystyle \ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk}$ відповідає наступна матриця повороту

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1-2(c^{2}+d^{2})&2bc-2ad&2ac+2bd\\2ad+2bc&1-2(b^{2}+d^{2})&2cd-2ab\\2bd-2ac&2ab+2cd&1-2(b^{2}+c^{2})\\\end{pmatrix}.}$

• Якщо представимо кватерніон у вигляді ${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2},\;\;{\vec {u}\sin {\frac {\alpha }{2}\right),\quad {\vec {u}=(x,y,z);}$ тоді

${\displaystyle \mathbf {R} _{\vec {u}(\alpha )=\mathbf {uu} ^{T}+(I-\mathbf {uu} ^{T})\cos \alpha +{\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }\sin \alpha .}$

Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.

Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \alpha )+\mathbf {v} \cos \alpha +(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\sin \alpha .}$

Перший та другий доданки вже не є обов'язково ортогональними.