Компактифікація Стоуна — Чеха

Компактифікація Стоуна — Чеха (також стоун-чехівська або чех-стоунова компактифікація) — максимальна компактифікація цілком регулярного топологічного простору.

Компактифікація Стоуна — Чеха простору ${\displaystyle X}$ зазвичай позначається як ${\displaystyle \beta X}$.

Позначимо через ${\displaystyle A}$ множину всіх неперервних функцій ${\displaystyle \alpha \colon X\to [0,1]}$. Можна перевірити, що відображення ${\displaystyle F:X\to [0,1]^{A}$ (тихонівський куб), визначене рівністю

${\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}$,

є гомеоморфізмом ${\displaystyle X}$ на свій образ ${\displaystyle F(X)\subset [0,1]^{A}$. Замикання ${\displaystyle F(X)}$ у ${\displaystyle [0,1]^{A}$ і буде шуканою компактифікацією.

• Будь-яка неперервна функція ${\displaystyle f\colon X\to I=[0,1]}$ продовжується до неперервної функції ${\displaystyle {\tilde {f}\colon \beta X\to I}$.
• Будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ у компактний гаусдорфів простір ${\displaystyle Y}$ продовжується до неперервного відображення ${\displaystyle {\tilde {f}\colon \beta X\to Y}$.

Конструкцію компактифікації вперше розглянув Андрій Миколайович Тихонов 1930 р.^[1] 1937 року її чітко описали Маршалл Стоун^[2] й Едуард Чех^[3].

• Гаврилків Володимир Михайлович. Алгебро-топологічні структури на суперрозширеннях // Львівський національний університет імені Івана Франка : Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук. — Львів, 2009.