Ласло Шароші розпочав виступи на футбольних полях у 1949 році виступами за будапештський «Вашаш». За цю команду він грав протягом усієї своєї кар'єри гравця, яка тривала до 1966 року. За цей час він зіграв у складі команди понад 300 матчів у чемпіонаті країни, та 5 разів ставав у її складі чемпіоном Угорщини. У складі «Вашаша» Шароші ставав також переможцем Кубка Угорщини, а також володарем Кубка Мітропи.
Виступи за збірну
З 1956 року Ласло Шароші дебютував у складі збірної Угорщини. У 1958 році грав у складі збірної на чемпіонаті світу у Швеції, на якому провів 4 матчі. У 1962 році грав у складі команди на чемпіонаті світу в Чилі, на якому також провів 4 матчі. У 1964 році Шароші грав на чемпіонаті Європи в Іспанії, на якому команда здобула бронзові нагороди, хоча в матчі за бронзові медалі футболіст участі не брав.
Кар'єра тренера
Розпочав тренерську кар'єру невдовзі по завершенні кар'єри гравця, 1968 року, очоливши тренерський штаб клубу «Дебрецен», де пропрацював лише кілька місяців. У 1969—1971 роках колишній футболіст очолював нижчолігову команду «ФОСПЕД». У 1971—1974 роках Шароші очолював молодіжну збірну Угорщини, з якою виграв молодіжний чемпіонат Європи 1974 року. Проте після цього особливих успіхів як тренер Ласло Шароші не мав, переважно тренуючи клуби без особливих успіхів, зокрема будапештський «Волан» та «Галадаш», а також МТК і «Ференцварош» без особливих успіхів, а також кувейтський клуб «Ан-Наср» (Ель-Фарванія). Завершив тренерську кар'єру в середині 90-х років ХХ століття. Помер Ласло Шароші 2 квітня 2016 року на 85-му році життя.