Оператор (фізика)

Оператор у квантовій механіці — це лінійне відображення, яке діє на хвильову функцію, яка є комплекснозначною функцією, що дає найбільш повний опис стану системи. Оператори позначаються великими латинськими літерами з циркумфлексом угорі. Наприклад:

Оператор діє на функцію, яка стоїть праворуч від нього (кажуть також, що він застосовується до функції або множиться на функцію):

У квантовій механіці використовується математична властивість лінійних самоспряжених (ермітових) операторів, яка полягає в тому, що кожен з них має власні вектори і власні дійсні значення. Вони виступають у ролі відповідних даному оператору значень фізичних величин.

Арифметичні операції над операторами

Оператор називається сумою (різницею) операторів , якщо для будь-якої функції з області визначення всіх трьох операторів виконано умову:

Оператор називається добутком операторів , Якщо для будь-якої функції виконано умову:

В загальному випадку

якщо , то кажуть, що оператори комутують. Комутатор операторів визначається як

Власні значення і власні функції оператора

Якщо має місце рівність:

то називають власним значенням оператора , а функцію  — власною функцією оператора яка відповідає цьому власному значенню. Найчастіше в оператора є множина власних значень: Множина всіх власних значень називається спектром оператора.

Лінійні і самоспряжені оператори

Оператор називається лінійним, якщо для будь-якої пари виконується умова:

Оператор називається самоспряженим (ермітовим), якщо для будь-яких виконується умова:

При цьому сума самоспряжених операторів є самоспряженим оператором. Добуток самоспряжених операторів є самоспряженим оператором, якщо вони комутують. Власні значення самоспряжених операторів завжди дійсні. Власні функції самоспряжених операторів, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Оператори, які використовуються у квантовій фізиці

Основними характеристиками фізичної системи у квантовій фізиці є спостережувані величини і стани.

У квантовій фізиці спостережуваним величинам зіставляються лінійні самоспряжені оператори в комплексному сепарабельному гільбертовому просторі, станам — класи нормованих елементів цього простору (з нормою 1). Це робиться переважно з двох причин:

  • Власні значення самоспряжених операторів, що відповідають конкретним значенням фізичних величин, є дійсними числами, тобто тим, з чим на практиці мають справу експериментатори (покази приладів, результати обчислень тощо).
  • Одна й та сама квантова частинка може перебувати одночасно у множині квантових станах, які й характеризуються множиною власних значень відповідного оператора. Це може бути скінченна множина (дискретний спектр значень), інтервал (неперервний спектр значень) або змішана множина.

У квантовій фізиці існує «нестроге» правило для побудови оператора фізичних величин: співвідношення між операторами в цілому таке ж, як між відповідними класичними величинами. Ґрунтуючись на цьому правилі, було введено такі оператори (в координатному поданні):

Дія оператора координат полягає у множенні на вектор координат.

Тут  — уявна одиниця,  — оператор набла.

тут  — стала Дірака,  — оператор Лапласа.

Дія оператора тут зводиться до множення на функцію.

Такий вигляд було обрано також з причин, пов'язаних з теоремою Нетер і групою SO(3)

У найважливішому випадку спіну 1/2 оператор спіну має вигляд: , де

, ,  — так звані матриці Паулі. Цей вигляд аналогічний попередньому, але пов'язаний з групою SU(2).

Див. також

Література

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика[ru]», в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., Москва, Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
  2. «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн, Москва, «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;