Прямий добуток груп — операція, яка за групами і будує нову групу, яку зазвичай позначають як . Ця операція є теоретико-груповим аналогом декартового добуткумножин та одним з основних прикладів поняття прямого добутку.
Нехай — група додатних дійсних чисел із операцією множення. Тоді прямий добуток — група всіх векторів у першій координатній чверті з операцією покомпонентного множення:
.
Нехай і — циклічні групи, кожна з яких містить два елементи:
Зокрема, якщо і взаємно прості, то порядок дорівнює добутку порядків і .
Як наслідок, якщо і — циклічні групи, порядки яких є взаємно простими числами, то прямий добуток також є циклічною групою. А саме, якщо і взаємно прості, то
Прямий добуток можна розглядати як операцію на групах. Ця операція комутативна та асоціативна з точністю до ізоморфізму: і для любых групп , , і .
Тривіальна група є її одиничним елементом із точністю до ізоморфізму, тобто, якщо — тривіальна група, то для будь-якої групи .
Алгебрична структура
Нехай і — групи, а . Розглянемо наступні дві підмножини:
і .
Обидві ці підмножини є підгрупами, при цьому канонічно ізоморфна , а канонічно ізоморфна . Якщо ми ототожнимо їх із і відповідно, ми зможемо вважати, що прямий добуток містить початкові групи і як підгрупи.
Зазначені підгрупи мають такі три важливі властивості:
Разом ці три властивості повністю визначають алгебричну структуру прямого добутку . Іншими словами, якщо — будь-яка група, що має підгрупи і , що задовольняють зазначені вище властивості, то ізоморфна прямому добутку і . У цій ситуації іноді називають внутрішнім прямим добутком її підгруп і .
У деяких випадках третя з наведених властивостей замінюється такою:
Ця властивість еквівалентна властивості 3, оскільки елементи двох нормальних підгруп із тривіальним перетином обов'язково комутують, що можна довести, розглядаючи комутатор, де — будь-який елемент у , а — будь-який елемент у .
Приклади внутрішнього прямого добутку
Нехай — 4-группа Кляйна:
V
∙
1
a
b
c
1
1
a
b
c
a
a
1
c
b
b
b
c
1
a
c
c
b
a
1
Тоді — внутрішній прямий добуток двоелементних підгруп і .
Нехай — циклічна група порядку , де і — взаємно прості числа. Тоді і — циклічні підгрупи порядків і відповідно, і — внутрішній прямий добуток цих підгруп.
Нехай — група ненульових комплексних чисел із операцією множення. Тоді є внутрішнім прямим добутком колової групи, що складається з комплексних чисел із модулем , і групи додатних дійсних чисел із операцією множення.
Якщо — непарне число, то дійсна повна лінійна — внутрішній прямий добуток спеціальної лінійної групи і підгрупи, що складається зі всіх скалярних матриць.
Група симетріїкуба — внутрішній прямий добуток підгрупи обертань куба та двоелементної групи , де — одиничний елемент, а — точкове відбиття через центр куба. Аналогічний факт справедливий і для групи симетрії ікосаедра.
Прямий добуток можна схарактеризувати такою універсальною властивістю. Нехай і — гомоморфізм проєкції. Тоді для будь-якої групи та будь-яких гомоморфізмів і існує єдиний гомоморфізм , що відповідає такій комутативній діаграмі:
Якщо — підгрупа і — підгрупа , то прямий добуток є підгрупою . Наприклад, ізоморфною копією в є добуток , де — тривіальна підгрупа .
Якщо і нормальні, то — нормальна підгрупа в . Більш того, фактор-група прямих добутків ізоморфна прямому добутку часток:
.
Зверніть увагу, що, взагалі кажучи, неправда, що кожна підгрупа з є добутком підгрупи з та підгрупи з . Наприклад, якщо — будь-яка нетривіальна група, то добуток має діагональну підгрупу[en]
Два елементи і спряжені в тоді й лише тоді, коли і спряжені в і одночасно і спряжені в . Звідси випливає, що кожен клас спряженості в є декартовим добутком класу спряженості в і класу спряженості в .
Аналогічно, якщо , то централізатор є добутком централізаторів і :
Нормалізатори поводяться складніше, оскільки всі підгрупи прямих добутків самі розкладаються на прямі добутки.
Автоморфізми та ендоморфізми
Якщо — автоморфізм, а — автоморфізм , то добуток функцій , що визначається формулою
є автоморфізмом . З цього випливає, що містить у собі підгрупу, ізоморфну прямому добутку .
У загальному випадку неправда, що кожен автоморфізм має вищезгаданий вигляд. Наприклад, якщо — будь-яка група, то існує автоморфізм групи , який міняє місцями два множники, тобто
.
Інший приклад: групою автоморфізмів групи є є група всіх матриць розміру зі цілочисельними значеннями та визначником, рівним . Ця група автоморфізмів нескінченна, але лише скінченна кількість автоморфізмів задаються як .
Загалом, кожен ендоморфізм можна записати у вигляді матриці розміру
де — ендоморфізм , — ендоморфізм , а і — гомоморфізми. Ця матриця повинна мати властивість, що кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу , а кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу .
Коли і — нерозкладні групи з тривіальними центрами, то група автоморфізмів прямого добутку відносно проста: , якщо і не ізоморфні, та , якщо , де позначає сплетення[en]. Це частина теореми Крулля — Шмідта[en], в загальному випадку вона справедлива для скінченних прямих добутків.
Узагальнення
Скінченні прямі добутки
Можна знайти прямий добуток більш ніж двох груп одночасно. Для скінченної послідовності груп прямий добуток
Він має багато властивостей, які має прямий добуток двох груп, і може бути алгебрично схарактеризованим в аналогічний спосіб.
Нескінченні прямі добутки
Також можна отримати прямий добуток нескінченної кількості груп. Для нескінченної послідовності груп його можна визначити так само, як для скінченного прямого добутку, з елементами нескінченного прямого добутку, що є нескінченними кортежами.
Елементи це елементи нескінченного декартового добутку множин ; тобто, елементи нескінченного декартового добутку можна розуміти як функції з такою властивістю, що для будь-якого .
Добуток двох елементів визначають покомпонентно:
.
На відміну від скінченного прямого добутку, нескінченний прямий добуток не породжується елементами ізоморфних підгруп . Натомість ці підгрупи породжують підгрупу прямого добутку, відому як нескінченна пряма сума, яка складається з усіх елементів, що мають лише скінченне число неодиничних компонентів.
Напівпрямий добуток і отримують ослабленням третьої умови, так що тільки одна з двох підгруп , має бути нормальною. Отриманий добуток, як і раніше, складається з упорядкованих пар , але з трохи складнішим правилом множення.
Також можна повністю послабити третю умову, не вимагаючи від жодної з підгруп нормальності. У цьому випадку групу називають добутком Заппи — Сепа[en] груп і .
Вільні добутки
Вільний добуток груп і , що зазвичай позначають як , схожий на прямий добуток, за винятком того, що підгрупи і групи не мусять комутувати. А саме, якщо
і ,
є заданнями і , то
.
На відміну від прямого добутку елементів вільного добутку не можна представити впорядкованими парами. До того ж вільний добуток будь-яких двох нетривіальних груп нескінченний. Дивно, але вільний добуток є кодобутком у категорії груп.
Підпрямі добутки
Якщо і — групи, то підпрямим добутком і є будь-яка підгрупа , яка відображається сюр'єктивно в і під впливом гомоморфізмів проєкції. Згідно з лемою Ґурса́[en], кожен підпрямий добуток розшарований.
Розшаровані добутки
Нехай , і — групи, і нехай і — гомоморфізми. Розшарований добуток і над являє собою таку підгрупу :
Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (вид. 3rd), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN978-0-13-374562-7, MR1375019.
Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (вид. 2nd), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR0356988.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556