Розшарований добуток

Розшарований добуток (також декартів квадрат) — теоретико-категорне поняття, яке можна задати як границю діаграми, що складається з двох морфізмів: Розшарований добуток позначається

Двоїстим поняттям є розшарований кодобуток.

Універсальна властивість

Нехай в категорії дана пара морфізмів і

Розшарованим добутком і над називається об'єкт разом з морфізмами для яких діаграма нижче є комутативною:

Окрім того, розшарований добуток має бути універсальним об'єктом з такою властивістю: для будь-якого об'єкта з парою морфізмів які разом із утворюють комутативний квадрат, існує єдиний морфізм такий що наведена нижче діаграма є комутативною:

Внутрішній квадрат цієї діаграми, утворений морфізмами називається також декартовим (або коуніверсальним) квадратом для пари морфізмів і

Як і інші об'єкти, задані за допомогою універсальних властивостей, розшарований добуток не обов'язково існує, але якщо існує, то є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Приклади

  • В категорії множин розшарованим добутком множин і з відображеннями і називається множина
разом з природними проєкціями на компоненти.
Також Розшарований добуток у можна описувати двома асиметричними способами:
  • Аналогічним чином визначається розшарований добуток в категорії комутативних кілець з тою лише специфікою, що всі відображення у цьому випадку є гомоморфізмами кілець.
  • Прообраз підмножини теж можна інтерпретувати як розшарований добуток. Нехай є деяке відображення f : AB і підмножина B0B. Нехай g позначає відображення включення B0B. Тоді розшароване відображення f і g (у категорії Set) можна інтерпретувати, як прообраз f−1[B0] разом із його включенням у A
f−1[B0] ↪ A
і обмеженням відображення f на f−1[B0]
f−1[B0] → B0.
  • Якщо A і B є підмножинами множини C, то розшарованим добутком відображень включення є перетин множин із відповідними відображеннями включення у A і B.

Властивості

  • У категорії із термінальним об'єктом T, розшарований добуток X ×T Y є звичайним добутком X × Y.[1]
  • Якщо f у наведених в означенні діаграмах є мономорфізмом то p2 теж є мономорфізмом. Також якщо g є мономорфізмом, то мономорфізмом є також і p1.
  • Попереднє твердження є також справедливим і для ізоморфізмів, зокрема X ×X YY для будь-якого морфізму Y → X (де X → X є одиничним морфізмом).
  • У абелевих категоріях розшарований добуток завжди існує і має властивість збереження ядра, а саме: якщо
є відповідною комутативною діаграмою і ker(p2) → ker(f) є ізоморфізмом, то ізоморфізмом є ker(p1) → ker(g). Звідси можна отримати комутативну діаграму, де всі рядки і стовпці є точними:
  • Існує натуральний ізоморфізм (A×CBB DA×CD. У явному вигляді:
    • якщо задано морфізми f : AC, g : BC і h : DB і
    • розшарований добуток f і g є заданий морфізмами r : PA і s : PB, і
    • розшарований добуток s і h є заданий морфізмами t : QP і u : QD ,
    • тоді розшарований добуток f і gh є заданий морфізмами rt : QA і u : QD.
Графічно це можна подати так: з двох комутативних діаграм розшарованих добутків, що розташовані поруч і мають спільний морфізм, утворюється комутативна діаграма розшарованого добутку, якщо ігнорувати спільний морфізм. Приклад цього на комутативній діаграмі:

Примітки

  1. Adámek, p. 197.

Див. також

Література