Рівнобедрений прямокутний трикутник

Рівнобе́дрений прямоку́тний трику́тник — це особливий випадок рівнобедреного і прямокутного трикутника, у якому внутрішній кут дорівнює 45°:

${\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}\!\,,}$

третій внутрішній кут є прямим:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}\!\,,}$

так що внутрішні кути відносяться як 1 : 1 : 2.

Бічні сторони трикутника дорівнюють:

${\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}{2}\!\,,}$

основа дорівнює:

${\displaystyle c=a{\sqrt {2}\!\,,}$

тому сторони відносяться як 1 : 1 : √2. Бічні сторони є катетами, основа є гіпотенузою.

Чотири таких трикутники утворюють квадрат, у яких основа така ж, як квадрат площі. Якщо основа дорівнює діагоналі квадрата, то квадрат складається з двох таких трикутників.

Висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:

${\displaystyle v_{c}={\frac {a{\sqrt {2}{2}={\frac {c}{2}=R\!\,,}$

де R — радіус описаного кола.

У евклідовій геометрії трикутники з такими внутрішніми кутами є єдиними можливими трикутниками, які є одночасно прямокутними і рівнобедреними. У сферичній та гіперболічній геометрії існує нескінченно багато форм прямокутного рівнобедреного трикутника.

Периметр рівнобедреного прямокутного трикутника:

${\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2})\!\,.}$

Площа рівнобедреного прямокутного трикутника:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}{2}={\frac {c^{2}{4}\!\,.}$

Площу рівнобедреного прямокутного трикутника можна подати за допомогою формули Герона:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2})}\!\,,}$

де p — півпериметр рівнобедреного прямокутного трикутника:

${\displaystyle p={\frac {P}{2}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}{2}\right)\!\,.}$

Рівнобедрений прямокутний трикутник, як і всі трикутники, є біцентричним. У ньому:

${\displaystyle r\!\,}$	${\displaystyle R\!\,}$	${\displaystyle a\!\,}$	${\displaystyle c\!\,}$
${\displaystyle R\left({\sqrt {2}-1\right)={\frac {a}{2}\left(2-{\sqrt {2}\right)={\frac {c}{2}\left({\sqrt {2}-1\right)\!\,}$	${\displaystyle {\frac {r}{\sqrt {2}-1}={\frac {a}{2}{\sqrt {2}={\frac {c}{2}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{2-{\sqrt {2}=R{\sqrt {2}={\frac {c}{2}{\sqrt {2}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\sqrt {2}-1}=2R=a{\sqrt {2}\!\,}$

Тут r — радіус вписаного кола, R — радіус описаного кола, a — довжина катетів та c — довжина основи рівнобедреного прямокутного трикутника.

Відстань між центрами вписаного та описаного кіл d дорівнює радіусу вписаного кола r і дається рівнянням Ейлера:

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}{2}\left(3-2{\sqrt {2}\right)\!\,}$

${\displaystyle d=r={\frac {a}{2}\left(2-{\sqrt {2}\right)=a{\sqrt {\frac {1}{2}\left(3-2{\sqrt {2}\right)}\approx 0,2928932\,a\!\,.}$

Рівнобедрений трикутник, що має те саме описане і вписане коло і однакову відстань між їх центрами (${\displaystyle d=r\,}$), має кути:

${\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}{\sqrt {2}{\sqrt {8{\sqrt {2}-11}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,}$

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.}$

Квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєнному квадрату катета:

${\displaystyle c^{2}=2a^{2}$