Список тригонометричних тотожностей

Тригонометрія
Обрис[en] Історія Застосування[en] Функції (обернені) Полігонометрія
Посилання
Тотожності Точні сталі Таблиці[en] Одиничне коло
Закони і теореми
Синуси Косинуси Тангенси Котангенси Теорема Піфагора
Обчислення
Тригонометричні підстановки[en] Інтеграли (обернені функції) Похідні
п о р

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

В цій статті кути позначені грецькими буквами ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2${\displaystyle \pi }$ радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Радіани	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}\!}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}\!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}\!}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}\!}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}\!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}\!}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}\!}$
Градуси	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Радіани	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}\!}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}\!}$	${\displaystyle \pi \!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{4}\!}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}\!}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}\!}$	${\displaystyle 2\pi \!}$

Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

• синус ${\displaystyle \sin \alpha ,}$

• косинус ${\displaystyle \cos \alpha ,}$

• тангенс ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha },\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• котангенс ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha },\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• секанс ${\displaystyle \operatorname {sec} \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha },\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• косеканс ${\displaystyle \operatorname {csc} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha },\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають ${\displaystyle \tan \alpha }$ та ${\displaystyle \cot \alpha ,}$ відповідно.

Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin⁻¹) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1}$

та

${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}.}$

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція	sin	cos	tg	ctg	sec	csc
Обернена	arcsin	arccos	arctg	arcctg	arcsec	arccsc

Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва	Скорочене позн.	Значення
синус-верзус	${\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )}$	${\displaystyle 1-\cos(\theta )}$
косинус-верзус	${\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )}$	${\displaystyle 1+\cos(\theta )}$
коверсинус	${\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )}$	${\displaystyle 1-\sin(\theta )}$
коверкосинус	${\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )}$	${\displaystyle 1+\sin(\theta )}$
гаверсинус	${\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}$
гаверкосинус	${\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}$
когаверсинус	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}$
когаверкосинус	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}$
ексеканс	${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )}$	${\displaystyle \sec(\theta )-1}$
екскосеканс	${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )}$	${\displaystyle \csc(\theta )-1}$
хорда	${\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )}$	${\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}$

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)

	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}$
${\displaystyle \sin \alpha =}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \cos \alpha =}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}{2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle -{\sqrt {3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}{3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \pm \infty }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}{3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle 0}$

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то ${\displaystyle +\infty }$, а якщо зліва, то ${\displaystyle -\infty }$. Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

	${\displaystyle {\frac {\pi }{16}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{15}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}$
${\displaystyle \sin \alpha =}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}+{\sqrt {3}(1-{\sqrt {5})}{8}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}-1}{4}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}{8}$
${\displaystyle \cos \alpha =}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}+{\sqrt {5}-1}{8}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}{2}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}{8}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}{2}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}+1}{4}$

Основні формули
${\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$	(1)
${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$	(2)
${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }=\operatorname {csc} ^{2}\alpha }$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ та ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ відповідно.

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.

	${\displaystyle \sin \alpha \!}$	${\displaystyle \cos \alpha \!}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!}$	${\displaystyle \csc \alpha \!}$	${\displaystyle \sec \alpha \!}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!}$
${\displaystyle \sin \alpha =\!}$	${\displaystyle \sin \alpha \ }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}{\sec \alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }\!}$
${\displaystyle \cos \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle \cos \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}{\csc \alpha }\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {ctg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }\!}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }{\cos \alpha }\!}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {ctg} \alpha }\!}$
${\displaystyle \csc \alpha =\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{\operatorname {tg} \alpha }\!}$	${\displaystyle \csc \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \alpha }{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }\!}$
${\displaystyle \sec \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \alpha }{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}\!}$	${\displaystyle \sec \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }{\operatorname {ctg} \alpha }\!}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }{\sin \alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} \alpha }\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}\!}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!}$

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Виконуються такі співвідношення:

Симетрія відносно кута ${\displaystyle \alpha =0}$	Симетрія відносно ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ (співвідношення між ко-функціями)	Симетрія відносно ${\displaystyle \alpha =\pi }$
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\alpha )&=-\sin \alpha \\\cos(-\alpha )&=+\cos \alpha \\\operatorname {tg} (-\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(-\alpha )&=-\csc \alpha \\\sec(-\alpha )&=+\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (-\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}-\alpha )&=+\cos \alpha \\\cos({\tfrac {\pi }{2}-\alpha )&=+\sin \alpha \\\operatorname {tg} ({\tfrac {\pi }{2}-\alpha )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\csc({\tfrac {\pi }{2}-\alpha )&=+\sec \alpha \\\sec({\tfrac {\pi }{2}-\alpha )&=+\csc \alpha \\\operatorname {ctg} ({\tfrac {\pi }{2}-\alpha )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\end{aligned}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\alpha )&=+\sin \alpha \\\cos(\pi -\alpha )&=-\cos \alpha \\\operatorname {tg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\pi -\alpha )&=+\csc \alpha \\\sec(\pi -\alpha )&=-\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}$

Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.

Зсув на π/2	Зсув на π Період tg і ctg	Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +{\tfrac {\pi }{2})&=+\cos \alpha \\\cos(\alpha +{\tfrac {\pi }{2})&=-\sin \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2})&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\csc(\alpha +{\tfrac {\pi }{2})&=+\sec \alpha \\\sec(\alpha +{\tfrac {\pi }{2})&=-\csc \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2})&=-\operatorname {tg} \alpha \end{aligned}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\pi )&=-\sin \alpha \\\cos(\alpha +\pi )&=-\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +\pi )&=-\csc \alpha \\\sec(\alpha +\pi )&=-\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +2\pi )&=+\sin \alpha \\\cos(\alpha +2\pi )&=+\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +2\pi )&=+\csc \alpha \\\sec(\alpha +2\pi )&=+\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \end{aligned}$

Формули для суми аргументів
${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$	(5)
${\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$	(6)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta }{1\mp \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \mathop {\mathrm {tg} } \beta }$	(7)
${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \mathop {\mathrm {ctg} } \beta \mp 1}{\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta }$

Формула (7) отримана діленням (5) на (6).

${\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right),}$

${\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }~(-1)^{k}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right).}$

У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.

Нехай ${\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,}$ — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

${\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Наприклад:

${\displaystyle e_{0}=1,}$

${\displaystyle e_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i}\operatorname {tg} \alpha _{i},}$

${\displaystyle e_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=\sum _{i<j}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j},}$

${\displaystyle e_{3}=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{i<j<k}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j}\operatorname {tg} \alpha _{k}.}$

Тоді

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k+1}e_{2k-1}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i},\!}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k+1}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k+1}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}.\!}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}{e_{0}-e_{2}={\frac {x_{1}+x_{2}{1\ -\ x_{1}x_{2}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}{e_{0}-e_{2}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}{e_{0}-e_{2}+e_{4}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}\end{aligned}$

і так далі.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}\end{aligned}$

де e_k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

${\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Наприклад,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma },\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \operatorname {tg} \gamma }.\end{aligned}$

Формули подвійного кута виведені з формул (5), (6) і (7), якщо взяти кут β рівним α:

Формули подвійного кута
${\displaystyle \mathop {\mathrm {sin} } 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }$	(23)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {cos} } 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }=2\cos ^{2}\alpha -1={1-2\operatorname {sin} ^{2}\alpha }={\frac {1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }{1+\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }$	(24)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,2\alpha ={\frac {2\mathop {\mathrm {tg} } \alpha }{1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }={\frac {2}{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }$	(25)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,2\alpha ={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } ^{2}\alpha -1}{2\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha }={\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }{2}$

Формули потрійного кута
${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}+\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}+\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}+\alpha \right)}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }=\mathrm {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}+\alpha \right)}$

Формули кратних кутів
${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha }$
${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha }$
${\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}\operatorname {tg} ^{2k+1}\alpha }{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}\operatorname {tg} ^{2k}\alpha }$
${\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}\operatorname {ctg} ^{n-2k}\alpha }{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}\operatorname {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }$

де ${\displaystyle [n]}$ — ціла частина числа ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\binom {n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт.

${\displaystyle \sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,}$

${\displaystyle \cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {tg} (n\alpha )+\operatorname {tg} \alpha }{1-\mathrm {tg} (n\alpha )\operatorname {tg} \alpha }.}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {ctg} (n\alpha )\operatorname {ctg} \alpha -1}{\mathrm {ctg} (n\alpha )+\operatorname {ctg} \alpha }.}$

Мають місце такі співвідношення:

${\displaystyle \cos n\alpha =T_{n}(\cos \alpha ),\quad \sin ^{2}n\alpha ={\frac {1-T_{n}(1-2\sin ^{2}\alpha )}{2},}$

де ${\displaystyle T_{n}(x)}$ — поліном Чебишова першого роду степеня n.

${\displaystyle \sin 2m\alpha =2m\sin \alpha \cos \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m}\right),\quad \cos 2m\alpha =\prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{4m}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sin(2m-1)\alpha =(2m-1)\sin \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m-1}\right),\quad \cos(2m-1)\alpha =\cos \alpha \prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{2(2m-1)}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sin n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {k\pi }{n}\right),\quad \cos n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left(\alpha +{\frac {(2k-1)\pi }{2n}\right).}$

Формули половинного кута
${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}\,}$
${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\,}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }\,}$

Знак перед виразом обрано відповідно до того, до якого квадранту належить кут ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}$.

Формули пониження степеня виведені з формул подвійного кута:

Синус	Косинус	Інше
${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}$	${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}$	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}$
${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}$	${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}$	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}$
${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}$	${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}$	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}$
${\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}$	${\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}$	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}$

Загальні формули пониження степеня
${\displaystyle \sin ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n-1}\left({\binom {2n}{n}+\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n}{k}\cos 2(n-k)\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \sin ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n+1}{k}\sin(2(n-k)+1)\alpha }$
${\displaystyle \cos ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}\left({\binom {2n}{n}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{k}\cos 2(n-k)\alpha \right)}$
${\displaystyle \cos ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}\cos(2(n-k)+1)\alpha }$

де ${\displaystyle {\binom {n}{k}$ — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій
${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}$	(28)
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}$	(29)
${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}$	(30)
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}$
${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}$	(31)
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}$	(32)
${\displaystyle \,\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}$	(33)
${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}$	(34)

Формули перетворення суми функцій
${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}$	(35)
${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}$	(36)
${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}$	(37)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$	(38)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }$	(39)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\pm \cos(\alpha \mp \beta )}{\cos \alpha \sin \beta }$	(40)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha +\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha \sin \alpha }=2\csc 2\alpha }$	(41)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha -\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha =-2\mathop {\mathrm {ctg} } 2\alpha }$	(42)
${\displaystyle \cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}\cos \left({\frac {\pi }{4}-\alpha \right)={\sqrt {2}\sin \left({\frac {\pi }{4}+\alpha \right)}$	(43)
${\displaystyle \cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}\sin \left({\frac {\pi }{4}-\alpha \right)={\sqrt {2}\cos \left({\frac {\pi }{4}+\alpha \right)}$	(43)

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\ldots +\cos(2n-1)\alpha ={\frac {\sin 2n\alpha }{2\sin \alpha },\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle }$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(2k-1)\alpha =\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\ldots +\sin(2n-1)\alpha ={\frac {\sin ^{2}n\alpha }{\sin \alpha },\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle }$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos(\varphi +k\alpha )=\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\ldots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1,}$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(\varphi +k\alpha )=\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\ldots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1.}$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 3+2n+\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4},\quad \sum _{k=0}^{n}\sin ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 1+2n-\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4},\quad n\geq 1,}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k\cos(k\alpha )={\frac {n\displaystyle \sin {\frac {2n-1}{2}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}-{\frac {1-\cos n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2},\quad \sum _{k=1}^{n-1}k\sin(k\alpha )={\frac {\sin n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}-{\frac {n\displaystyle \cos {\frac {2n-1}{2}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2},\quad n\geq 2,}$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha -p^{n+1}\cos(n+1)\alpha -p^{n+2}\cos n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2},\quad n\geq 1,}$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha -p^{n+1}\sin(n+1)\alpha -p^{n+2}\sin n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2},\quad n\geq 1.}$

Якщо ж ${\displaystyle p}$ таке, що ${\displaystyle |p|<1}$, то при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ отримуємо

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2},\quad \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}.}$

Сума виду

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+\displaystyle {\frac {1}{2}\right)x\right)}{2\sin \left(\displaystyle {\frac {x}{2}\right)}.}$

називається ядром Діріхле.

А функція

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x),}$

називається ядром Феєра

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}\left({\frac {\sin \displaystyle {\frac {n+1}{2}x}{\sin \displaystyle {\frac {x}{2}\right)^{2}={\frac {1}{2(n+1)}{\frac {1-\cos((n+1)x)}{1-\cos x}$,

Вони використані при сумуванні рядів Фур'є.

${\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}{\pi ^{2}n^{2}\right),\qquad \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\displaystyle {\frac {x^{2}{\pi ^{2}\left(n-\displaystyle {\frac {1}{2}\right)^{2}\right),}$

• Нехай

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,}$

тоді

${\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\,}$

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}\cos {\frac {\beta }{2}\cos {\frac {\gamma }{2},\,}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2,\,}$

${\displaystyle \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1,\,}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}\sin {\frac {\beta }{2}\sin {\frac {\gamma }{2}+1,}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1,\,}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma =\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma ,\,}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}+\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}+\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}=1,}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}=\mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2},}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha \,\mathrm {ctg} \,\beta +\mathrm {ctg} \,\beta \,\mathrm {ctg} \,\gamma +\mathrm {ctg} \,\gamma \,\mathrm {ctg} \,\alpha =1.\,}$

Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ — кути деякого трикутника.

• Нехай

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma ={\frac {\pi }{2},}$

тоді

${\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\mathrm {ctg} (\beta )+\mathrm {ctg} (\gamma )=\mathrm {ctg} (\alpha )\,\mathrm {ctg} (\beta )\,\mathrm {ctg} (\gamma ).}$

• Нехай

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\theta =\pi ,}$

тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\alpha )\sin(\alpha +\beta )&=\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )\\&=\sin(\beta +\gamma )\sin(\gamma +\theta )\\&=\sin(\gamma +\theta )\sin(\theta +\alpha )\\&=\sin(\theta )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\gamma ).\end{aligned}$

${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;}$

${\displaystyle \mathrm {arctg} (-x)=-\mathrm {arctg} (x),\quad \mathrm {arcctg} (-x)=\pi -\mathrm {arcctg} (x),\quad \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arcctg} (x)=\pi /2.\;}$

${\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (1/x)=\left\{\begin{matrix}\pi /2,&x>0,\\-\pi /2,&x<0.\end{matrix}\right.}$

Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0

	${\displaystyle \arccos }$	${\displaystyle \arcsin }$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,}$
${\displaystyle \arccos x=}$	${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}-\arcsin x}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}{x}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}$
${\displaystyle \arcsin x=}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}-\arccos x}$	${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}{x}$
${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x=}$	${\displaystyle \arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}$	${\displaystyle \arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {1}{x}$
${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x=}$	${\displaystyle \arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}$	${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {1}{x}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}$

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
${\displaystyle \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}\,}$	${\displaystyle \mathrm {tg} [\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}$
${\displaystyle \sin[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}$	${\displaystyle \mathrm {tg} [\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}{x}$
${\displaystyle \cos[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}$	${\displaystyle \mathrm {ctg} [\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}{x}$
${\displaystyle \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}\,}$	${\displaystyle \mathrm {ctg} [\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}$

Нехай ${\displaystyle x,y}$ такі, що ${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$, тоді

${\displaystyle \arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^{\varepsilon }\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}+y{\sqrt {1-x^{2}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{\begin{matrix}0,&xy\leq 0,\\\operatorname {sgn} x,&xy>0,\end{matrix}\right.}$

${\displaystyle \quad }$

${\displaystyle \arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^{\varepsilon }\arccos \left(xy-{\sqrt {1-y^{2}{\sqrt {1-x^{2}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{\begin{matrix}0,&x+y\geq 0,\\1,&x+y<0,\end{matrix}\right.}$

${\displaystyle \quad }$

${\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (y)=\operatorname {arctg} \left({\frac {x+y}{1-xy}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{\begin{array}{ll}-1,&xy<1,\\0,&xy=1,\\1,&xy>1.\end{array}\right.}$

• ${\displaystyle \operatorname {sin} x=a}$.

Якщо ${\displaystyle |a|>1}$ — дійсних розв'язків не існує.

Якщо ${\displaystyle |a|\leq 1}$ — розв'язком є число виду ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

• ${\displaystyle \operatorname {cos} x=a}$.

Якщо ${\displaystyle |a|>1}$ — розв'язків нема.

Якщо ${\displaystyle |a|\leq 1}$ — розв'язком є число виду ${\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

• ${\displaystyle \operatorname {tg} x=a}$.

Розв'язком є число виду ${\displaystyle x=\operatorname {arctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

• ${\displaystyle \operatorname {ctg} x=a}$.

Розв'язком є число виду ${\displaystyle x=\operatorname {arcctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

Вид нерівності	Множина розв'язків, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sin x>a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (\arcsin a+2\pi n,\,\pi -\arcsin a+2\pi n)}$
${\displaystyle \sin x<a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n,\,\arcsin a+2\pi n)}$
${\displaystyle \cos x>a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (-\arccos a+2\pi n,\,\arccos a+2\pi n)}$
${\displaystyle \cos x<a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (\arccos a+2\pi n,\,2\pi -\arccos a+2\pi n)}$
${\displaystyle \mathrm {tg} \,x>a}$	${\displaystyle x\in \left(\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,{\frac {\pi }{2}+\pi n\right)}$
${\displaystyle \mathrm {tg} \,x<a}$	${\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}+\pi n,\,\mathrm {arctg} \,a+\pi n\right)}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} \,x>a}$	${\displaystyle x\in (\pi n,\,\mathrm {arcctg} \,a+\pi n)}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} \,x<a}$	${\displaystyle x\in (\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,\pi n)}$

Для довільного ${\displaystyle x}$ з інтервалу ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ виконуються такі нерівності:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }|x|\leqslant |{\sin(x)}|\leqslant |x|.}$

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}$).

• ${\displaystyle \operatorname {sin} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2},\qquad \operatorname {cos} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2},\qquad \sec \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}{1-\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2};}$

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}{1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2},\qquad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}{2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2},\qquad \csc \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}{\displaystyle 2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}.}$

${\displaystyle a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}\sin \left(x\pm \arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\right),}$

${\displaystyle a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}\cos \left(x\mp \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\right),}$

${\displaystyle b+a\mathrm {tg} (x)={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\cos x},}$

${\displaystyle a+b\mathrm {ctg} (x)={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\sin x}.}$

Перші дві формули можуть бути узагальненими

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),}$

де

${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j}),\qquad \delta =\mathrm {arctg} \,{\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin \delta _{i}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cos \delta _{i}.}$

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\,\,i^{2}=-1,}$ — формула Ейлера,

Функція	Обернена функція
${\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }{2i}\,}$	${\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}\right)\,}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }{2}\,}$	${\displaystyle \arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arctg} x={\frac {i}{2}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}\right)\,}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {i}{x}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}\right)\,}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {1}{x}+{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {i}{x^{2}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcctg} x={\frac {i}{2}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}\right)\,}$

${\displaystyle \sin ^{2}(18^{\circ })+\sin ^{2}(30^{\circ })=\sin ^{2}(36^{\circ }),\,}$

${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}{8},}$

${\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2},}$

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}\right)={\frac {1}{2},\end{aligned}$

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}\right)={\frac {n}{2^{n-1},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}\right)={\frac {\sin(\pi n/2)}{2^{n-1},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{n}\right)={\frac {n}{\sin(\pi n/2)},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{2m+1}\right)={\sqrt {2m+1},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}\right)=\prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}\right)={\frac {\sqrt {2}{2^{n},}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}=4\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{5}-\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{239},}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}=5\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{7}+2\mathrm {arctg} \,{\frac {3}{79}.}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}+\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}-\alpha \right),}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}+\alpha \right),}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta },}$

${\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sqrt {2}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}\pm \alpha \right)}{\cos \alpha },}$

${\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\sqrt {2}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}\pm \alpha \right)}{\sin \alpha },}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (\alpha )+\sec(\alpha )=\operatorname {tg} \left({\alpha \over 2}+{\pi \over 4}\right).}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}\right)=\csc(\alpha ),}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha +1},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 5\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}-\alpha \right).}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 7\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}-\alpha \right).}$

${\displaystyle \cos(\alpha )+2\cos(2\alpha )+3\cos(3\alpha )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}k\cos(k\alpha )={\frac {\displaystyle n\sin \left({\frac {\alpha }{2}\right)\sin \left({\frac {(2n+1)\alpha }{2}\right)-2\sin ^{2}\left({\frac {n\alpha }{2}\right)}{\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{k}\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2^{k}\right)={\frac {1}{2^{n}\operatorname {ctg} \left({\frac {\alpha }{2^{n}\right)-\operatorname {ctg} \alpha }$

${\displaystyle \cos(\alpha )\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdots =\prod \limits _{n=0}^{\infty }\cos \left({\frac {\alpha }{2^{n}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2\alpha }.}$

${\displaystyle \cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\alpha \over 2^{n}\right)={\sin \alpha \over \alpha }$

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}\alpha \right)}{2^{n+1}\sin \alpha }.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2^{n+1}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}\right)}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}\right)={\frac {\sin \alpha }{2^{n}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}\right)}.}$

${\displaystyle |{\sin x}|={\frac {1}{2}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}]{\left|\operatorname {tg} \left(2^{n}x\right)\right|}.}$

• Тригонометричні функції
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Обернені тригонометричні функції
• Універсальна тригонометрична підстановка
• Екзотичні тригонометричні функції

• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.

• Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.