Спряжений оператор

Спря́жений оператор — одне з важливих понять в функціональному аналізі.

Нехай  ${\displaystyle A:E_{1}\to E_{2}$ — лінійний неперервний оператор, що відображає нормований простір ${\displaystyle E_{1}$ в нормований простір ${\displaystyle E_{2}$. Тоді спряженим оператором оператору ${\displaystyle A}$ називається таке відображення ${\displaystyle A^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}$ спряжених просторів, що діє згідно з правилом:

Рівності можна надати більш виразної форми, якщо значення ${\displaystyle \phi (x)}$ функціонала ${\displaystyle \phi \in E^{*}$ на елементі ${\displaystyle x\in E}$ записувати у вигляді ${\displaystyle \left\langle x,\phi \right\rangle }$. Тоді спряжений оператор ${\displaystyle A^{*}$ визначається рівністю

Відмітимо, що, згідно з теоремою Ріса про загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу, заданого на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$, оператор ${\displaystyle A^{*}:H\to H}$, спряжений до лінійного неперервного оператора ${\displaystyle A:H\to H}$, визначається за допомогою рівності

що збігається в такому випадку з рівністю, якою визначається спряжений оператор.

В гільбертовому просторі найцікавішими є ті оператори, що рівні своїм спряженим: ${\displaystyle A^{*}=A}$, так звані самоспряжені оператори. Таким чином, оператор ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}(H)}$ називається самоспряженим, якщо ${\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}$ для довільних елементів ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ гільбертового простору ${\displaystyle H}$. Для самоспряженого оператора ${\displaystyle A:H\to H}$ справедлива рівність ${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup _{\lVert x\rVert \leq 1}|(Ax,x)|}$.

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — 3-є. — Х. : Вища школа, 1977. — Т. 1. — 316 с.(рос.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)