Стійкість (динамічні системи)

В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Нехай ${\displaystyle \Omega }$ — область простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$, що містить початок координат, ${\displaystyle I=[\tau ;\infty )}$, де ${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} ^{1}$. Розглянемо систему (1) виду:

${\displaystyle \left\{\begin{matrix}{\dot {x}=f(t,x),x\in \mathbb {R} ^{n},f:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}\\f(t,0)=0.\end{matrix}\right.}$ (1)

При будь-яких ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in I\times \Omega }$ існує єдиний розв'язок x(t, t₀, x₀) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t₀, t₀, x₀) = x₀. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t₀, x₀) визначено на інтервалі ${\displaystyle J^{+}=[t_{0};\infty )}$, причому ${\displaystyle J^{+}\subset I}$.

Нехай дані також дві динамічні системи:

${\displaystyle {\dot {X}(t)=F(X(t-\tau )),\quad \quad \tau =\mathrm {const} >0;}$ (2)

${\displaystyle {\dot {X}(t)=F(X(t-\tau ))+{\mathfrak {F}(t,X_{t}).}$ (3)

Кожен розв'язок ${\displaystyle X(t,t_{0},\varphi )}$ системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом ${\displaystyle t_{0}$ та початковою вектор-функцією ${\displaystyle \varphi (\xi ),}$ де ${\displaystyle X(t_{0}+\xi ,t_{0},\varphi )=\varphi (\xi )}$ за ${\displaystyle \xi \in [-\tau ,0].}$ Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції ${\displaystyle \varphi (\xi )}$ належать простору ${\displaystyle PC[-\tau ,0]}$ шматково-неперервних за ${\displaystyle \xi \in [-\tau ,0]}$ функцій із рівномірною нормою ${\displaystyle ||\varphi ||_{\tau }={\underset {\xi \in [-\tau ,0]}{\sup }||\varphi (\xi )||,}$ де ${\displaystyle ||\cdot ||}$ — евклідова норма вектора.

Функціонал ${\displaystyle {\mathfrak {F}(t,\varphi )}$ заданий й є неперервним у області

${\displaystyle \{t\in \mathbb {E} :t\geq 0\}\times \Omega _{H},}$

де ${\displaystyle \Omega _{H}$ — множина функцій ${\displaystyle \varphi (\xi )\in PC[-\tau ,0],}$ які задовільняють умові ${\displaystyle ||\varphi ||_{\tau }<H,\,\,(H=\mathrm {const} >0).}$ Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

${\displaystyle ||R(t,\varphi )||\leq \beta (||\varphi ||_{\tau }^{\sigma }),\quad \quad \beta >0,\,\,\sigma >0.}$

Відтак система (3) має розв'язок ${\displaystyle X(t)\equiv 0.}$

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких ${\displaystyle t_{0}\in I}$ і ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ${\displaystyle \delta >0}$, залежне тільки від ε і t₀ і не залежне від t, таке, що для будь-якого x₀, для котрого ${\displaystyle \|x_{0}\|<\delta }$, розв'язок x системи з початковими умовами x(t₀) = x₀ триває на всю піввісь t > t₀ і задовольняє нерівності ${\displaystyle \|x(t)\|<\varepsilon }$.

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\forall t_{0}\in I)(\exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0)(\forall x_{0}\in B_{\delta (t_{0},\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )}$.

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

${\displaystyle {\dot {X}(t)=F(X(t)),}$ (4)

де ${\displaystyle X(t)}$ — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції ${\displaystyle F(X)}$ визначені й неперервно диференційовані за усіх ${\displaystyle X\in \mathbb {E} ^{n}$ та є однорідними функціями порядку ${\displaystyle \mu \geq 1.}$ Відтак система (4) має розв'язок ${\displaystyle X(t)\equiv 0.}$

Розгляньмо функцію Ляпунова ${\displaystyle V(X),}$ яка має наступні властивості:

• ${\displaystyle V(X)}$ неперервно диференційована;
• ${\displaystyle V(X)}$ додатно визначена;
• ${\displaystyle V(X)}$ — однорідна функція порядку ${\displaystyle \gamma >1}$;
• справедлива рівність ${\displaystyle ({\frac {\partial V(X)}{\partial X})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma +\mu -1}.}$

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) ${\displaystyle t\geq 0,\,\,||X_{t}||_{\tau }<H}$ маємо

${\displaystyle {\dot {V}|_{(3)}=({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}F(X(t))+({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma +\mu -1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma -1}(||F(X(t-\tau ))-F(X(t))||+\beta (||X_{t}||_{\tau })^{\sigma }),}$

де ${\displaystyle b_{1}=\mathrm {const} >0.}$ Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність ${\displaystyle \sigma >\mu >1,}$ то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення ${\displaystyle \tau >0.}$

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta (\varepsilon )>0)(\forall t_{0}\in I)(\forall x_{0}\in B_{\delta (\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )}$

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:

${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)(\exists t_{0}\in I)(\forall \delta >0)(\exists x_{0}\in B_{\delta })(\exists t_{*}\geq t_{0},t_{*}\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|\geq \varepsilon )}$

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|=0}$ для всякого x з початковою умовою x₀, що лежить у досить малому околі нуля.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.

Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.

• Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги
• Критерій Андронова — Понтрягіна

• Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений : [рос.]. — М. : Издательство иностранной литературы, 1954.
• Четаев, Н. Г. Устойчивость движения : [рос.]. — 4-е изд., испр.. — М. : Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
• Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения : [рос.]. — М. : Физматгиз, 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения : [рос.]. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1966.
• Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : [рос.]. — М. : Наука, 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления : [рос.]. — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
• Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
• Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир, 1980.