Теорема Жордана

У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.

Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить усі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох областей, перетне цю криву в якійсь точці.

Хоча твердження теореми здається інтуїтивно очевидним, потрібна винахідливість, щоб довести її через елементарні логічні пояснення. Прозоріше доведення покладається на математичні механізми алгебричної топології, і веде до узагальнення для вищих вимірів.

Теорему названо на честь Каміля Жордана, який першим довів її.

Крива Жордана або проста замкнена крива в площині R² це образ C ін'єктивного неперервного відображення кола в площину, φ: S¹ → R². Жорданова дуга в площині — образ ін'єктивного неперервного відображення замкненого відрізка.

Інакше, жорданова крива — це образ неперервного відображення φ: [0,1] → R² такий, що φ(0) = φ(1) і з обмеженням, що φ в [0,1) є ін'єкцією. Перші дві умови кажуть, що C є неперервною замкненою кривою, тоді як остання вимагає відсутності самоперетинів.

Нехай C — жорданова крива в площині R². Тоді її доповнення, R² \ C, містить рівно дві зв'язні складові. Одна з цих складових є обмеженою множиною (внутрішня область), інша — необмежена (зовнішня область), і крива C є межею кожної зі складових.

Натомість, доповнення жорданової дуги в площині зв'язне.

Перші відомі доведення теореми Жордана були аналітичними. Лейтзен Брауер узагальнив теорему на вищі розмірності і дав топологічне доведення із застосуванням ідей теорії гомологій. Подане тут доведення використовує редуковані сингулярні гомології і послідовності Маєра — Вієторіса для них.

Доводиться узагальнення для багатовимірних сфер, яке називають також теоремою Жордана — Брауера. Згідно з цією теоремою, якщо ${\displaystyle S^{n}$ є гіперсферою розмірності n, і ${\displaystyle h:S^{k}\to S^{n}$ є вкладенням однієї гіперсфери в іншу (тобто h є гомеоморфізмом на свій образ) то редуковані сингулярні гомології простору ${\displaystyle S^{n}\setminus h(S^{k})}$ є рівними:

${\displaystyle {\tilde {H}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k}))={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&i=n-k+1\\0,&i\neq n-k+1\end{cases}.}$

Оскільки для будь-якого простору X нульова редукована група рівна ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{j-1}$, де j — кількість компонент лінійної зв'язності простору X , із твердження теореми випливає те, що для будь якого вкладення ${\displaystyle h:S^{n-1}\to S^{n}$ простір ${\displaystyle S^{n}\setminus h(S^{n-1})}$ має дві компоненти лінійної зв'язності, а отже дві компоненти зв'язності. Оскільки простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ є гомеоморфним ${\displaystyle S^{n}$ без одної точки, то й довільне вкладення ${\displaystyle h:S^{n-1}\to R^{n}$ ділить простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ на дві компоненти зв'язності причому одна є обмеженою, а інша — ні. У випадку ${\displaystyle n=2}$ кожна жорданова крива є вкладенням ${\displaystyle h:S^{1}\to R^{2}$ і з теореми Жордана — Брауера випливає теорема Жордана про криві.

Доведення використовує властивість, що редуковані сингулярні групи простору ${\displaystyle S^{n}\setminus h(B^{k})}$ (де ${\displaystyle B^{k}$ — одинична куля розмірності k і ${\displaystyle h(B^{k})}$ теж є вкладенням) є тривіальними. Це можна довести індукцією за розмірністю k. Для k = 0, куля ${\displaystyle B^{0}$ є точкою і ${\displaystyle S^{n}\setminus h(B^{0})}$ гомеоморфний простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Оскільки ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ є стягуваним простором то всі редуковані сингулярні групи ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ і тому також ${\displaystyle S^{n}\setminus h(B^{0})}$ є тривіальними.

Для вищих розмірностей зручніше розглядати замість кулі ${\displaystyle B^{k}$ гомеоморфний їй куб ${\displaystyle I^{k}=[0,1]^{k}$ тої ж розмірності. Нехай твердження доведено для деякого невід'ємного цілого числа ${\displaystyle k-1}$. Позначимо ${\displaystyle A=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/2])}$ і ${\displaystyle B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/2,1]).}$ Тоді ${\displaystyle A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})}$ і ${\displaystyle A\cap B=S^{n}\setminus h(I^{k}).}$ Згідно з припущенням індукції, всі редуковані сингулярні групи ${\displaystyle A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})}$ тривіальні. Тому розглядаючи простір ${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})}$ і його відкриті підмножини ${\displaystyle A,B}$ у послідовності Маєра — Вієторіса одержуємо, що всі гомоморфізми${\displaystyle {\tilde {H}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}_{i}A\oplus {\tilde {H}_{i}B}$ є ізоморфізмами. За означенням послідовності Маєра — Вієторіса обидві компоненти цього ізоморфізму ${\displaystyle {\tilde {H}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}_{i}A}$ і ${\displaystyle {\tilde {H}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}_{i}B}$ є породженими відображенням вкладення (з точністю до множення на -1). Тому, якщо ${\displaystyle \alpha }$ є циклом у ${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k}),}$ що не є межею в цьому просторі, то ${\displaystyle \alpha }$ також не є межею хоча б у одному із просторів ${\displaystyle A,B.}$ Якщо вона не є межею у просторі ${\displaystyle A}$ то можна ввести простори ${\displaystyle A_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/4])}$ і ${\displaystyle B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/4,1/2]).}$ Тоді ${\displaystyle A_{1}\cup B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/4\})}$ і ${\displaystyle A_{1}\cap B_{1}=A.}$ За допомогою аргументів аналогічних до попередніх одержуємо, що ${\displaystyle \alpha }$ також не є межею хоча б у одному із просторів ${\displaystyle A_{1},B_{1}.}$ Продовжуючи надалі такий процес одержуємо послідовність вкладених замкнутих інтервалів ${\displaystyle I_{m}=\left[{i-1 \over 2^{m},{i \over 2^{m}\right],\quad i\in 1,\ldots m}$ для яких ${\displaystyle \alpha }$ не є межею у просторах${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})}$. Згідно з лемою про вкладені відрізки ці інтервали прямують до деякої спільної точки ${\displaystyle p\in [0,1].}$ Згідно з припущенням індукції усі редуковані сингулярні гомологічні групи простору ${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{p\})}$ є тривіальними, а тому ${\displaystyle \alpha }$ є межею, тобто ${\displaystyle \alpha =\partial \beta }$ для деякого ${\displaystyle \beta .}$ Але ${\displaystyle \beta }$ є формальною сумою скінченної кількості сингулярних симплексів із цілими коефіцієнтами. Оскільки й об'єднання скінченної кількості сингулярних симплексів і ${\displaystyle h(I^{k-1}\times \{p\})}$ є компактними підмножинами сфери, то можна знайти також таке ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ що всі сингулярні симплекси із ${\displaystyle \beta }$ належать простору ${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])}$ але тоді й межа ${\displaystyle \beta }$ тобто ${\displaystyle \alpha }$ теж належить простору ${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])}$. Проте для деякого m інтервал ${\displaystyle I_{m}\subset [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ]}$. Тоді на ${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})}$ також ${\displaystyle \alpha =\partial \beta ,}$ що суперечить вибору інтервалу ${\displaystyle I.}$ Тобто ${\displaystyle \alpha }$ має бути межею вже в ${\displaystyle S^{n}\setminus h(I^{k})}$ і тому всі редуковані сингулярні групи цього простору є тривіальними. Це завершує крок індукції і доведення властивості для просторів ${\displaystyle S^{n}\setminus h(B^{k})}$.

Для доведення твердження для просторів ${\displaystyle S^{n}\setminus h(S^{k})}$ теж використовують індукцію за розмірністю k. Для k = 0, простір ${\displaystyle S^{0}$ є двома точками і ${\displaystyle S^{n}\setminus h(S^{0})}$ гомеоморфний ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$ і його редуковані сингулярні групи рівні групам для гіперсфери ${\displaystyle S^{n-1},}$ тобто ${\displaystyle {\tilde {H}_{n-1}(S^{n}\setminus h(S^{0}))=\mathbb {Z} }$ і всі інші редуковані сингулярні групи тривіальні. Тобто твердження теореми в цьому випадку є істинним.

Припустимо, що теорему доведено для деякого невід'ємного цілого числа ${\displaystyle k-1}$. Сферу ${\displaystyle S^{k}$ можна подати як об'єднання двох півсфер ${\displaystyle S_{+}^{k}$ і ${\displaystyle S_{-}^{k}$(гомеоморфних кулі ${\displaystyle B^{k}$) перетин яких рівний ${\displaystyle S^{k-1}.}$ Позначимо ${\displaystyle A=S^{n}\setminus h(S_{+}^{k})}$ і ${\displaystyle B=S^{n}\setminus h(S_{-}^{k}).}$ Тоді ${\displaystyle A\cup B=S^{n}\setminus h(S^{k-1})}$ і ${\displaystyle A\cap B=S^{n}\setminus h(S^{k}).}$ Також із попереднього всі редуковані сингулярні групи просторів ${\displaystyle A,B}$ тривіальні. Підставляючи простори у послідовність Маєра — Вієторіса одержуємо ізоморфізми ${\displaystyle {\tilde {H}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k})\simeq {\tilde {H}_{i+1}(S^{n}\setminus h(S^{k-1}).}$ Але за припущенням індукції ${\displaystyle {\tilde {H}_{n-k+2}(S^{n}\setminus h(S^{k-1})=\mathbb {Z} }$ і всі інші редуковані сингулярні групи для ${\displaystyle S^{n}\setminus h(S^{k-1})}$ є тривіальними. Тому з одержаного ізоморфізму ${\displaystyle {\tilde {H}_{n-k+1}(S^{n}\setminus h(S^{k})=\mathbb {Z} }$ і всі інші редуковані сингулярні групи для ${\displaystyle S^{n}\setminus h(S^{k})}$ тривіальні, що й треба було довести.

• Крива Осгуда

• M.I. Voitsekhovskii (2001), Жордана Теорема Жордана, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)
• Повне, в 6,500 рядків, формальне доведення теореми Жордана на Mizar (англ.)
• Підбірка доведень теореми Жордана (англ.)
• Просте доведення теореми Жордана (PDF)(англ.)