Тригонометрична тотожність Піфагора

Піфаго́рова (Пітаго́рова^[1]) тригонометри́чна тотожність стверджує, що для довільного кута ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$.

Цю тотожність називають також тригонометричною одиницею.

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}$,

${\displaystyle \sin A={\frac {a}{c}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}$,

${\displaystyle \cos A={\frac {b}{c}={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}$,

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin ^{2}A+\cos ^{2}A&=&\left({\frac {a}{c}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\right)^{2}+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\times {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\right)+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\times {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}\right)^{2}+{\frac {b^{2}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}\right)^{2}\\\ &=&{\frac {a^{2}{a^{2}+b^{2}+{\frac {b^{2}{a^{2}+b^{2}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}{a^{2}+b^{2}\\\ &=&1\end{matrix}$,
або

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin ^{2}A+\cos ^{2}A&=&\left({\frac {a}{c}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{c}\times {\frac {a}{c}\right)+\left({\frac {b}{c}\times {\frac {b}{c}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}{c^{2}+{\frac {b^{2}{c^{2}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}{c^{2}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}\right)^{2}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}{a^{2}+b^{2}\\\ &=&1\end{matrix}$.

• Тригонометричні функції

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.