Формула Біне — Коші — теорема про визначник добутку прямокутних матриць (при умові, що добуток є квадратною матрицею).
Добуток прямокутних матриць
та
є квадратною матрицею розміру
, якщо
має
стовпців та
рядків, а
— навпаки.
Мінори матриць
та
порядку рівного меншому з чисел
та
називаються відповідними один одному, якщо номера стовпців в матриці
однакові з номерами рядків в матриці
.
Теорема
Визначник матриці
рівний нулю, якщо
, або дорівнює сумі попарних добутків відповідних мінорів порядку
, якщо
(сумма береться по всім наборам стовпців матриці
та рядків матриці
зі зростаючими номерами
).
Приклад
Нехай

Тоді

і відповідні мінори мають вигляд

для всіх
, від
до
.
Формула Біне — Коші в даному прикладі дає рівність

із якої (у випадку дійсних чисел) випливає нерівність Коші — Буняковського:

Джерела