Фільтрація (випадкові процеси)

Фільтра́ція в теорії випадкових процесів - це неспадна множина σ-алгебр.

Нехай задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F},\mathbb {P} )}$ і підмножину дійсної прямої ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$. Множина σ-алгебр ${\displaystyle \{\mathcal {F}_{t}\}_{t\in T}$ така, що

${\displaystyle {\mathcal {F}_{s}\subset {\mathcal {F}_{t}\subset {\mathcal {F},\quad s\leq t,\;s,t\in T}$,

називається фільтрацією ймовірнісного простору.

Нехай заданий випадковий процес ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}$, визначений на деякому ймовірнісному просторі. Визначимо

${\displaystyle {\mathcal {F}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.}$.

Тоді множина ${\displaystyle \left\{\mathcal {F}_{t}^{X}\right\}_{t\in T}$ є фільтрацією і називається природною фільтрацією випадкового процесу ${\displaystyle \{X_{t}\}$.

• Марковський процес
• Мартингал.

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.
• A. N. Shiryayev: Probability. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 3-540-90898-6.