AQUAL

AQUAL — це теорія гравітації, яка базується на модифікованій динаміці Ньютона (МОНД, MOND), але використовує лагранжеве формулювання для забезпечення виконання законів збереження. Вона була розроблена Джейкобом Бекенштейном і Мордехаєм Мілґромом у статті 1984 року «Чи вказує проблема відсутності маси на порушення ньютонівської гравітації?»^[1]. «AQUAL» розшифровується як «квадратичний лагранжіан» (англ. A QUAdratic Lagrangian).

Це формулювання МОНД дозволило зробити успішні незвідані передбачення для вертикальної кінематики зір у Чумацькому Шляху^[2], співвідношень для центральної поверхневої густини у галактиках^[3], та деяких інших залежностей^[4], які не може пояснити гіпотеза темної матерії.

Рівняння руху тіла з масою ${\displaystyle m}$ у полі сили тяжіння точкового тіла масою ${\displaystyle M}$, отримуване з МОНД:

${\displaystyle m\mu \left({\frac {a}{a_{0}\right){\vec {a}=-{\frac {GMm}{r^{3}{\vec {r},}$

має серйозну ваду: воно не зберігає імпульс та момент імпульсу. Щоб переконатися в цьому, розглянемо два тіла з масами ${\displaystyle m\neq M}$ і вектор ${\displaystyle {\vec {r}$ від тіла ${\displaystyle M}$ до тіла ${\displaystyle m}$; тоді з МОНД маємо

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{m}{a_{0}\right)m{\vec {a}_{m}=-{\frac {GMm}{r^{3}{\vec {r}$

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{M}{a_{0}\right)M{\vec {a}_{M}={\frac {GMm}{r^{3}{\vec {r}$

Що дає:

${\displaystyle \mu \left({\frac {a_{m}{a_{0}\right)m{\vec {a}_{m}+\mu \left({\frac {a_{M}{a_{0}\right)M{\vec {a}_{M}=0}$

Для малих прискорень ${\displaystyle \mu (x)\approx x}$, тоді:

${\displaystyle m{\frac {a_{m}{a_{0}{\vec {a}_{m}=-M{\frac {a_{M}{a_{0}{\vec {a}_{M}$

${\displaystyle {\sqrt {m}{\vec {a}_{m}=-{\sqrt {M}{\vec {a}_{M}$

Що після інтегрування дає:

${\displaystyle {\sqrt {m}{\vec {v}_{m}+{\sqrt {M}{\vec {v}_{M}={\vec {\text{const}$

Що відрізняється від закону збереження імпульсу:

${\displaystyle m{\vec {v}_{m}+M{\vec {v}_{M}={\vec {\text{const}$

Цю проблему можна вирішити шляхом виведення закону сили з лагранжіана ціною, можливо, зміни загальної форми закону сили. Тоді закони збереження можна було б отримати з лагранжіана звичайними засобами.

Лагранжіан (точніше, лагранжева густина) AQUAL записується схоже до Ньютонівського:

${\displaystyle {\mathcal {L}={\frac {\rho v^{2}{2}-\rho \Phi -{\frac {1}{8\pi G}a_{0}^{2}F\left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}{a_{0}^{2}\right)}$

Він призводить до модифікованого рівняння Пуассона:

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mu \left({\frac {|\nabla \Phi |}{a_{0}\right)\nabla \Phi \right)=4\pi G\rho }$

де ${\displaystyle \mu (x)={\frac {dF(x^{2})}{dx}$, а передбачене прискорення:

${\displaystyle a=-\nabla \Phi }$

Ці рівняння зводяться до рівнянь MOND у сферично-симетричному випадку, проте вони дещо відрізняються у випадку диска, необхідного для моделювання спіральних або лінзоподібних галактик. Однак різниця становить лише 10–15%, тому на результати вона серйозно не впливає.

За словами Сандерса та МакГафа, однією з проблем AQUAL (або будь-якої скалярно-тензорної теорії, в якій скалярне поле входить як конформний фактор, що множить метрику Ейнштейна) є неспроможність AQUAL передбачити кількість гравітаційних лінз, які насправді спостерігаються в багатих скупченнях галактик. ^[5]

• Jacob Bekenstein & M. Milgrom (1984). Does the missing mass problem signal the breakdown of Newtonian gravity?. Astrophys. J. 286: 7—14. Bibcode:1984ApJ...286....7B. doi:10.1086/162570. 
• Milgrom, M (1986). Solutions for the modified Newtonian dynamics field equation. Astrophys. J. 302: 617—625. Bibcode:1986ApJ...302..617M. doi:10.1086/164021. 
• Bekenstein, Jacob D (2009). Relativistic MOND as an alternative to the dark matter paradigm. Nuclear Physics A. 827: 555—560. arXiv:0901.1524. Bibcode:2009NuPhA.827..555B. doi:10.1016/j.nuclphysa.2009.05.122. 
• Kyu-Hyun Chae (2023) Breakdown of the Newton–Einstein Standard Gravity at Low Acceleration in Internal Dynamics of Wide Binary Stars. The Astrophysical Journal, Volume 952, Number 2, 128 DOI:10.3847/1538-4357/ace101

• Денис Ільченко,  Темна матерія: історія, теорія і сьогодення на YouTube, канал НДІ астрономії Харківського університету