Bình phương

Bình phương hay mũ 2 là phép toán áp dụng cho mọi số thực hoặc số phức. Bình phương của một số là tích của số đó với chính bản thân nó 2 lần.^[1] Một cách tổng quát, bình phương chính là lũy thừa bậc 2 của một số,^[1] và phép toán ngược với nó là phép khai căn bậc 2.

Bình phương của số thực luôn là số ≥0. Bình phương của một số nguyên gọi là số chính phương.

• Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9. Số chính phương không thể tận cùng là: 2; 3; 7; 8.
• Một số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. Một số chính phương có tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.
  • Chứng minh: Số chính phương ${\displaystyle a=b^{2}$ có tận cùng là 5 suy ra ${\displaystyle b}$ có tận cùng là ${\displaystyle 5}$. Đặt ${\displaystyle b=10x+5}$. Ta có ${\displaystyle (10x+5)^{2}=100x^{2}+100x+25=100(x^{2}+x)+25}$, có hai chữ số tận cùng là 25, do đó chữ số hàng chục là 2. Số chính phương ${\displaystyle a=b^{2}$ có tận cùng là 6 suy ra ${\displaystyle b}$ có tận cùng là 4 hoặc 6. Xét $${\displaystyle (10x+4)^{2}=100x^{2}+80x+16=6+10(10x^{2}+8x+1)=6+10[2(5x^{2}+4x)+1]}$$ và $${\displaystyle (10x+6)^{2}=100x^{2}+120x+36=6+10(10x^{2}+12x+3)=6+10[2(5x^{2}+6x+1)+1]}$$. Do đó chữ số hàng chục là số lẻ.
• Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố thì các thừa số chỉ chứa số mũ chẵn.
• Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ.
• N là số chính phương thì N chia hết cho một số nguyên tố khi và chỉ khi N chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó (trừ trường hợp N=0; N=1).
• Tích của nhiều số chính phương là một số chính phương.
  • Ví dụ: a² × b² × c² = (a × b × c)²

Số mũ ² bên phải của số được bình phương.

• Số thực:

2² = 2 × 2 = 4

15² = 15 × 15 = 225

(- 0,5)² = 0,25

• Số phức:

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle (3+2i)^{2}=5+12i}$

• Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2011, Toán 6 (tập một) (tái bản lần thứ chín), Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.