Nhóm Prüfer

Trong toán học, và cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một p-nhóm Prüfer là bất kỳ nhóm nào đẳng cấu với nhóm nhân

${\displaystyle \mathbf {C} _{p^{\infty }=\{\exp(2\pi in/p^{m})\mid n\in \mathbf {Z} ,m\in \mathbf {N} \}$ ^[1]

tạo bởi các căn thức phức của đơn vị có bậc là một lũy thừa của p (với p là một số nguyên tố).

Do đó, nó là một p-nhóm giao hoán đếm được.

Đặt G là một p-nhóm Prüfer. Ta có:

a) G đẳng cấu với nhóm thương ${\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} ,}$ với ${\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]}$ là nhóm con của (Q,+) được tạo bởi các phân số có dạng ${\displaystyle n/p^{m}$, với ${\displaystyle n\in \mathbf {Z} ,m\in \mathbf {N} }$.

Chứng minh. Đồng cấu ${\displaystyle \mathbf {Z} [1/p]\rightarrow \mathbf {C} _{p^{\infty }:q\mapsto \exp(2\pi iq)}$ là một toàn ánh. Hạch của nó là ${\displaystyle \mathbf {Z} }$.

b) G có biểu thị nhóm

${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\dots |x_{1}^{p}=1,x_{2}^{p}=x_{1},x_{3}^{p}=x_{2},\dots \rangle .}$

c) G có một hệ sinh ${\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbf {Z} }$ sao cho${\displaystyle \ a_{0}\not =1}$, ${\displaystyle \ a_{0}^{p}=1}$ và ${\displaystyle \ a_{n+1}^{p}=a_{n}$ với mọi ${\displaystyle n\geq 0}$ ^[2].

d) G là hợp của một chuỗi tăng dần vô hạn ${\displaystyle C_{0}\leq C_{1}\leq \ldots \leq C_{n}\leq \ldots }$ trong đó, với mọi n, C_n là một nhóm cyclic cấp p^{n [3]}.