Phương trình Erdős–Moser

Vấn đề mở trong toán học: Phương trình Erdős–Moser có nghiệm nguyên nào khác ngoài ${\displaystyle 1^{1}+2^{1}=3^{1}$ không? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Trong lý thuyết số, phương trình Erdős–Moser là

${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}$

với ${\displaystyle m}$ và ${\displaystyle k}$ là các nguyên dương. Nghiệm duy nhất được biết là 1¹ + 2¹ = 3¹, và Paul Erdős đặt ra giả thuyết rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại.

Leo Moser trong 1953 đã chứng minh rằng 2 là ước của k và không có nghiệm nào cho m < 10^1,000,000.

Trong 1966, ta chứng minh được rằng 6 ≤ k + 2 < m < 2k.

Trong 1994, ta tìm được rằng lcm(1,2,...,200) là ước của k và bất cứ ước nguyên tố của m + 1 đều phải bất chính quy và > 10000.

Phương pháp của Moser được mở rộng thêm trong 1999 để chứng tỏ rằng m > 1.485 × 10^9,321,155.

Trong 2002, mọi số nguyên tố nằm giữa 200 và 1000 phải là ước của k.

Trong 2009, ta tìm thêm được rằng 2k / (2m – 3) bằng với hội tụ phân số của ln(2); Tính giá trị ln(2) cho thấy m > 2.7139 × 10^{1,667,658,416}.