此条目页的主題是邏輯運算符。关于邏輯門,請見「
蘊含閘」。
文氏图
在命题演算,或在数学的逻辑演算中,实质条件、實質蘊涵或蕴涵算子是一种二元的真值泛函的逻辑运算符,它有着如下形式:
- 若A,則B。
这裡的A和B是陈述变量(可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代)。在这种形式的陈述中,第一项这裡的A,叫做前件;第二项这裡的B,叫做后件。
这个算子使用右箭头“→”(有时用符号“⇒”或“⊃”)来符号化,其語義僅爲“如果A為真,那么B亦為真”。它的常見寫法見下:
![{\displaystyle A\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b8dd84619daff17b52a08b77d15db2b9ad6c2a)
![{\displaystyle A\supset B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee952838d8b3e67045072a8f2b71e7fc0467dea6)
![{\displaystyle A\Rightarrow B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e560143d45c97e6387c7c3aa90e9d7745002228)
須注意的是,
更常用於語意蘊含(等同符號
)。這也是大多數初學者易搞混的點。
真值表
涉及实质蕴涵的真值表定义如下:
![{\displaystyle ~A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17327d088840ce291c8db59b592489ef8e6e94bd) |
![{\displaystyle ~B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0f733e87842725692fbe008e10b1182254de73) |
(符合了「如果A為真,那麼B必為真」)
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F |
F |
T
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F |
T |
T
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T |
F |
F
|
T |
T |
T
|
由此可见,
等价于
。
形式性質
實質條件不要混淆於蘊涵關係
。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立:
- 如果
則
對于某些
。(這是演繹定理的特定形式。)
和
而二者都是單調的;就是說如果
則
,并且如果
則
對於任何α, Δ。(用結構規則的術語說,這叫做弱化。)
但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中,也不成立於相干邏輯中。
實質蘊涵的其他性質:
- 左分配律:
![{\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1dd41c2394bdbd4a4dbdc7a050ddad1e69d6d3)
- 傳遞律:(
![{\displaystyle A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb47fdc1798f82cae3b3e4533e0f763a2e92f99)
- 冪等律:
![{\displaystyle A\rightarrow A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435207fa671140cb134a72c3d2185ef44620a56d)
- 真理保持:在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。
- 前交換律:(
![{\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C))\equiv (B\rightarrow (A\rightarrow C))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726a054d65749656c227f77a2fba574fc0a23d4f)
注意
邏輯等價於
;這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質,對→符號採用右結合約定是合適的。
對自然語言的符号表示
在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本,学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的,这通常包括实质条件、析取、合取、否定和(经常的)双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。
用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括,“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件,另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如,“A仅当B”被如下陈述捕获
A → B
而“A当B”被如下陈述正确捕获
B → A
蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。
中文 |
数学表达式
|
如果天下雨,我就带伞 |
天下雨→我带伞
|
学生只有喜欢数学,才会学好物理 学生物理学得好是因为他喜欢数学 |
物理学得好→喜欢数学
|
如果老婆說對,我就要聽 |
老婆說對→我就聽
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同其他条件陈述的比较
使用这个算子是逻辑学家规定的,作为结果,它产生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯为假設的,任何实质条件的整句陈述結果都是真值成立的。所以陈述句如“假設
是奇数,則蕴涵了
是偶数”這樣違反自然語言直覺的推理蕴涵是真的。类似的,后件为真的任何实质条件陳述都是真的。所以陈述“如果猪接管了农场并谋杀了农民,则巴黎是在法国”是真的。
这些有爭議的真值推理陳述句出现,是因为自然口语的人經常易受诱惑,而把实质条件和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件,混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B读做“要么不是情况
要么是情况
(或二者)”,或更简单的“要么
为假 要么
为真(或二者)”。(當
为假,此式即已被淺薄的(trivial)滿足。这种陈述等价的自然口語方式,即是使用否定和析取(或)的逻辑符号
而获得的。)
引用
- Brown, Frank Markham(2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
- Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
- Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint(页面存档备份,存于互联网档案馆).
- Quine, W.V.(1982), Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
- Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5(1975): 269–286.
外部链接
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- 恆真(
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- 与非(
)
- 反蕴涵(
)
- 蕴涵(
)
- 或(
)
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- 非(
)
- 异或(
)
- 双条件(
)
- 命题
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- 或非(
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- 非蕴涵(
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- 反非蕴涵(
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- 与(
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- 恆假(
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