中線定理

中線定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

對任意三角形${\displaystyle \triangle ABC}$，設${\displaystyle I}$是線段${\displaystyle {\overline {BC}$的中點，${\displaystyle {\overline {AI}$為中線，則有如下關係：

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}+{\overline {AC}^{2}=2{\overline {BI}^{2}+2{\overline {AI}^{2}\,}$

用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入${\displaystyle I}$：

${\displaystyle |{\vec {AB}|^{2}+|{\vec {AC}|^{2}=\left|{\vec {AI}+{\vec {IB}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}+{\vec {IC}\right|^{2}$

得出

${\displaystyle |{\vec {AB}|^{2}+|{\vec {AC}|^{2}=|{\vec {AI}|^{2}+|{\vec {IB}|^{2}+2{\vec {AI}\cdot {\vec {IB}+|{\vec {AI}|^{2}+|{\vec {IC}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}\cdot {\overrightarrow {IC}$

${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中點，因此${\displaystyle {\overrightarrow {IB}$和${\displaystyle {\overrightarrow {IC}$相反，可知式中兩個標積抵消。又因${\displaystyle {\overline {IC}={\overline {IB}$，得出

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}+{\overline {AC}^{2}=2{\overline {AI}^{2}+2{\overline {IB}^{2}\,}$

這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下： 設${\displaystyle H}$是從${\displaystyle A}$到${\displaystyle BC}$的垂足，則${\displaystyle \triangle BHA}$和${\displaystyle \triangle AHC}$是直角三角形。用勾股定理可得

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}={\overline {BH}^{2}+{\overline {AH}^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AC}^{2}={\overline {AH}^{2}+{\overline {HC}^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AI}^{2}={\overline {IH}^{2}+{\overline {AH}^{2}\,}$

所以

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}+{\overline {AC}^{2}={\overline {BH}^{2}+2{\overline {AH}^{2}+{\overline {HC}^{2}\,}$

把${\displaystyle BH}$和${\displaystyle HC}$用${\displaystyle BI}$和${\displaystyle IH}$表達出來（記得${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中點，因此${\displaystyle BI=IC}$）。注意到雖然現在的情形假設${\displaystyle H}$在線段${\displaystyle BI}$上，但其 他情形也可以用這個方法。

${\displaystyle {\overline {BH}={\overline {BI}-{\overline {IH}\,}$

${\displaystyle {\overline {HC}={\overline {IC}+{\overline {IH}={\overline {BI}+{\overline {IH}\,}$

代入前式：

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}+{\overline {AC}^{2}=({\overline {BI}-{\overline {IH})^{2}+2{\overline {AH}^{2}+({\overline {BI}+{\overline {IH})^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}+{\overline {AC}^{2}={\overline {BI}^{2}-2{\overline {BI}\cdot {\overline {IH}+{\overline {IH}^{2}+2{\overline {AH}^{2}+{\overline {BI}^{2}+2{\overline {BI}\cdot {\overline {IH}+{\overline {IH}^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}+{\overline {AC}^{2}=2{\overline {BI}^{2}+2{\overline {IH}^{2}+2{\overline {AH}^{2}=2{\overline {BI}^{2}+2({\overline {IH}^{2}+{\overline {AH}^{2})\,}$

${\displaystyle \triangle IHA}$是直角三角形(H為${\displaystyle \triangle ABC}$於${\displaystyle {\overline {BC}$之垂足) ，因此

${\displaystyle {\overline {IH}^{2}+{\overline {AH}^{2}={\overline {AI}^{2}\,}$

代入前式得出

${\displaystyle {\overline {AB}^{2}+{\overline {AC}^{2}=2{\overline {BI}^{2}+2{\overline {AI}^{2}\,}$

設${\displaystyle I}$是線段${\displaystyle BC}$的中點，則有${\displaystyle {\vec {AB}+{\vec {AC}=2{\vec {AI}$

用標積表示${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC}\cdot {\overrightarrow {IH}$，其中${\displaystyle H}$是${\displaystyle A}$到線${\displaystyle BC}$的垂足。

從上得到中線的另一條定理${\displaystyle \left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH}$。

實際上

${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}+{\overrightarrow {AC})\cdot ({\overrightarrow {AB}-{\overrightarrow {AC})=2{\overrightarrow {AI}\cdot ({\overrightarrow {AB}+{\overrightarrow {CA})=2{\overrightarrow {AI}\cdot {\overrightarrow {CB}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AI}$投影在${\displaystyle {\overrightarrow {BC}$ 上是${\displaystyle {\overrightarrow {HI}$，因而有${\displaystyle {\overrightarrow {AI}\cdot {\overrightarrow {CB}={\overrightarrow {HI}\cdot {\overrightarrow {CB}={\overrightarrow {BC}\cdot {\overrightarrow {IH}$.

這兩個共線向量的標積可等於${\displaystyle BC\times IH\,}$或其負數，因此取絕對值。

• 閉凸集投影定理，中線定理是這定理的證明關鍵。
• 平行四邊形恆等式