二次方程

二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程^[1]。

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$，其中 ${\displaystyle a\neq 0}$。${\displaystyle ax^{2}\,}$为方程的二次项，${\displaystyle a\,}$为方程的二次项系数；${\displaystyle bx\,}$为一次项，${\displaystyle b\,}$为一次项系数；${\displaystyle c\,}$为常数项。若${\displaystyle a=0\,}$，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

一元二次方程根的判别式為${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$。

若${\displaystyle \Delta >0\,}$，則該方程有两個不相等的實数根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}{2a}\,}$；

若${\displaystyle \Delta =0\,}$，則該方程有两個相等的實数根： ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}\,}$；

若${\displaystyle \Delta <0\,}$，則該方程有一對共軛複數根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}{2a}\,}$。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當${\displaystyle \Delta \geq 0\,}$時，方程纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當${\displaystyle \Delta <0\,}$時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

设${\displaystyle x_{1}\,}$，${\displaystyle x_{2}\,}$是一元二次方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ （${\displaystyle a\neq 0\,}$ ）的两根，则

两根之和：${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}$

两根之积：${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}$

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文radix。

我们通常把 ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}{2a}$ 称之为 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ 的求根公式：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}x+{\frac {c}{a}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}x+\left({\frac {b}{2a}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}\right)^{2}+{\frac {c}{a}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}\right)^{2}-{\frac {b^{2}{4a^{2}+{\frac {c}{a}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}\right)^{2}&={\frac {b^{2}{4a^{2}-{\frac {c}{a}\\\left(x+{\frac {b}{2a}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}\\x+{\frac {b}{2a}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}{2a}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}{2a}\end{aligned}$$

或不將${\displaystyle x^{2}$係數化為1：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}\right)^{2}-c}\\x{\sqrt {a}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}&=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}{4a}-c}\\x+{\frac {b}{2a}&=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}{4a^{2}-{\frac {c}{a}\\x+{\frac {b}{2a}&=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}{4a^{2}-{\frac {4ac}{4a^{2}\\x&=-{\frac {b}{2a}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}{2a}\end{aligned}$$

设 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$（${\displaystyle a\neq 0\,}$），
对${\displaystyle x\,}$求导，得

${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d} y}{\mathop {\mbox{d} x}=2ax+b}$

令 ${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d} y}{\mathop {\mbox{d} x}=0}$，得

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}\end{aligned}$

即为 ${\displaystyle y\,}$的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。 将 ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}$ 代入 ${\displaystyle y\,}$，可得

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}$

即为 ${\displaystyle y\,}$ 的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：
${\displaystyle f''(x)<0\,}$，${\displaystyle x\,}$是${\displaystyle f(x)\,}$ 的极大值点，
${\displaystyle f''(x)>0\,}$，${\displaystyle x\,}$是${\displaystyle f(x)\,}$ 的极小值点；
由${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d} x^{2}=2a}$，可知：
当${\displaystyle a<0\,}$时（抛物线开口向下），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}$为${\displaystyle y\,}$的极大值点；
当${\displaystyle a>0\,}$时（抛物线开口向上），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}$为${\displaystyle y\,}$的极小值点。

• 一次方程
• 抛物綫
• 配方法
• 圆锥曲线

1. ^ 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始内容存档于2019-07-24）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）