伪黎曼流形

伪黎曼流形，也称为半黎曼流形（英語：Pseudo-Riemannian manifold）^[1][2]，在微分几何中是指一光滑流形，其上有一光滑、对称、点点非退化的${\displaystyle (0,2)}$ 張量。此張量稱為伪黎曼度量或伪度量張量。

伪黎曼流形与黎曼流形的区别是它不需要正定（通常要求非退化）。因为每個正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量，亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。

每一個非退化對稱，雙線性形式有一個固定的度量符号${\displaystyle (p,q)}$。這裡${\displaystyle p}$與${\displaystyle q}$記作正特徵值及負特徵值的个数。注意${\displaystyle p+q=n}$是流形的维数。黎曼流形就是以${\displaystyle (n,0)}$作為符号。

伪黎曼流形的符号${\displaystyle (p,1)}$稱為洛伦兹度量。擁有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外，洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有${\displaystyle (3,1)}$符号的洛伦兹流形的模型。

和欧几里得空间${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}$可以被认为是黎曼流形的模型一样，,有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间(Minkowski space) ${\displaystyle \mathbf {R} ^{p,1}$是洛伦兹流形的模型空间。特征数为${\displaystyle (p,q)}$的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的${\displaystyle \mathbf {R} ^{p,q}$:

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}$

有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量；因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。

参考资料