伴随勒让德多项式 （Associated Legendre polynomials ，又译缔合勒让德多项式 、连带勒让德多项式 、关联勒让德多项式 ）[ 1] 数学 上对如下形式常微分方程 解函数 序列的称呼：
(
1
−
x
2
)
d
2
y
d
x
2
−
2
x
d
y
d
x
+
(
ℓ
[
ℓ
+
1
]
−
m
2
1
−
x
2
)
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}-2x{\frac {dy}{dx}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}{1-x^{2}\right)\,y=0}
该方程是在球坐标系 下求解拉普拉斯方程 时得到的，在数学和理论物理学 中有重要的意义。
l 因上述方程仅当
ℓ
{\displaystyle \ell }
m
{\displaystyle m\,}
整数 且满足
0
≤
m
≤
ℓ
{\displaystyle 0\leq m\leq \ell }
ℓ
{\displaystyle \ell }
m
{\displaystyle m\,}
伴随勒让德多项式 ；把
ℓ
{\displaystyle \ell }
m
{\displaystyle m\,}
实数 或复数 时方程的解称为广义勒让德函数 （generalized Legendre functions ）。
当
m
=
0
{\displaystyle m\,=0}
ℓ
{\displaystyle \ell }
勒让德多项式 。
注意当 m 奇数 时，连带勒让德多项式并不是多项式 。
与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。
∫
−
1
1
P
l
m
(
x
)
P
k
m
(
x
)
d
x
=
(
l
+
m
)
!
(
l
−
m
)
!
2
2
l
+
1
δ
k
l
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)\mathrm {d} x={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}{\frac {2}{2l+1}\delta _{kl}
这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型 的：
{
m
2
1
−
x
2
−
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
]
}
P
l
m
(
x
)
=
λ
P
l
m
(
x
)
,
λ
=
l
(
l
+
1
)
,
l
∈
Z
0
+
{\displaystyle \left\{\frac {m^{2}{1-x^{2}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}
正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。
∫
0
π
P
l
m
(
cos
θ
)
P
k
m
(
cos
θ
)
sin
θ
d
θ
=
(
l
+
m
)
!
(
l
−
m
)
!
2
2
l
+
1
δ
k
l
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )P_{k}^{m}(\cos \theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}{\frac {2}{2l+1}\delta _{kl}
连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m
P
l
m
(
x
)
=
(
1
−
x
2
)
m
/
2
P
l
(
m
)
(
x
)
{\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}P_{l}^{(m)}(x)}
等号右边的上标 (m m
连带勒让德函数（即 l m 超几何函数 表达为：
P
ν
μ
(
z
)
=
1
Γ
(
1
−
μ
)
(
z
−
1
z
+
1
)
μ
/
2
2
F
1
(
−
ν
,
ν
+
1
,
1
−
μ
,
1
−
z
2
)
{\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}\left({\frac {z-1}{z+1}\right)^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,{\frac {1-z}{2})}
注意 μ m μ 伽玛函数 的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 μ m
显然连带勒让德方程在变换 m m
P
l
−
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
x
)
,
m
=
1
,
…
,
l
;
l
∈
Z
+
{\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x),\quad m=1,\ldots ,l;l\in \mathbb {Z} ^{+}
容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m
注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数 一文）中会直接取
P
l
−
m
(
x
)
=
P
l
m
(
x
)
{\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=P_{l}^{m}(x)}
本文不采用这种定义。
球谐函数是球坐标 下三维空间拉普拉斯方程 的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。
采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
2
l
+
1
4
π
P
l
m
(
cos
θ
)
e
i
m
ϕ
{\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}{\frac {2l+1}{4\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }
由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：
∫
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
Y
k
n
∗
(
θ
,
ϕ
)
d
Ω
=
δ
k
l
δ
m
n
{\displaystyle \int Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )Y_{k}^{n*}(\theta ,\phi )\mathrm {d} \Omega =\delta _{kl}\delta _{mn}
式中 dΩ 立体角 元。
^ 吴崇试. 16. 数学物理方法（第二版） . 北京大学出版社 . [2003]. ISBN 9787301068199
Dunster, T. M., Legendre and Related Functions , Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255MR 2723248 ![{\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}-2x{\frac {dy}{dx}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}{1-x^{2}\right)\,y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42729a1f0fe5dbb09f07c0e1e0c9782b08f519fb)
![{\displaystyle \left\{\frac {m^{2}{1-x^{2}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e0ca7ede600090cee6a35e1950e70cfbbafef2)
