塞尔伯格筛法

在數論中，塞爾伯格篩法（Selberg sieve）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以同餘表示。這篩法由阿特勒·塞爾伯格於1940年代發展。

描述

在篩法的術語中，塞爾伯格篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在此篩法中，塞爾伯格以一組針對問題最佳化的權重取代默比烏斯函數，而這可給出「篩選過的」的集合大小的上界。

設${\displaystyle A}$為不大於${\displaystyle x}$的正整數的集合，並假定${\displaystyle P}$為質數的集合，然後設${\displaystyle A_{p}$是${\displaystyle A}$中可為${\displaystyle P}$中的質數${\displaystyle p}$整除的數組成的集合；此外，可設${\displaystyle d}$為${\displaystyle P}$中的不同質數的乘積，在這種狀況下，可相應地定義${\displaystyle A_{d}$為${\displaystyle A}$中可被${\displaystyle d}$整除的數的集合，並定義${\displaystyle A_{1}$為${\displaystyle A}$本身。

設${\displaystyle z}$為任意實數，而${\displaystyle P(z)}$為${\displaystyle P}$中不大於${\displaystyle z}$的質數的乘積，那這篩法的目標就是估計下式：

${\displaystyle S(A,P,z)=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}A_{p}\right\vert .}$

我們可以假定說${\displaystyle \left|A_{d}\right|}$可由下式估計：

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {1}{f(d)}X+R_{d}.}$

其中${\displaystyle f}$是一個積性函數、${\displaystyle X}$是${\displaystyle A}$的元素個數。

另外，設${\displaystyle g}$是個由對${\displaystyle f}$進行默比烏斯反演所得到的函數，也就是說，${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)}$且${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)}$，其中${\displaystyle \mu }$是默比烏斯函數。

在這種狀況下，設${\displaystyle V(z)=\sum _{\begin{smallmatrix}d<z\\d\mid P(z)\end{smallmatrix}{\frac {1}{g(d)}.}$，就可得下列關係式：

${\displaystyle S(A,P,z)\leq {\frac {X}{V(z)}+O\left({\sum _{\begin{smallmatrix}d_{1},d_{2}<z\\d_{1},d_{2}\mid P(z)\end{smallmatrix}\left\vert R_{[d_{1},d_{2}]}\right\vert }\right)}$

其中${\displaystyle [d_{1},d_{2}]}$是${\displaystyle d_{1}$及${\displaystyle d_{2}$的最小公倍數。

此外，${\displaystyle V(z)}$的數值可由下式估計：

${\displaystyle V(z)\geq \sum _{d\leq z}{\frac {1}{f(d)}.\,}$

應用

• 算數數列中的質數（英语：primes in arithmetic progression）相關問題上的布朗-第區馬許定理。
• 不大於${\displaystyle x}$且與歐拉函數${\displaystyle \varphi (n)}$互質的${\displaystyle n}$的數量，與${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma }{\log {\log {\log {(x)}$呈現非病態的（asymptotic）關係。

參考資料

• Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 113–134. ISBN 0-521-61275-6. Zbl 1121.11063. 
• Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099. 
• Greaves, George. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge 43. Berlin: Springer-Verlag. 2001. ISBN 3-540-41647-1. Zbl 1003.11044. 
• Halberstam, Heini; Richert, H.E. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. Zbl 0298.10026. 
• Hooley, Christopher. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge Tracts in Mathematics 70. Cambridge University Press. 1976: 7–12. ISBN 0-521-20915-3. Zbl 0327.10044. 
• Selberg, Atle. On an elementary method in the theory of primes. Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim. 1947, 19: 64–67. ISSN 0368-6302. Zbl 0041.01903.