拉格朗日方程式

拉格朗日方程式（Lagrange equation），因數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }-{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial \mathbf {q} }=\mathbf {0} \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {L}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} },\ t)\,\!}$是拉格朗日量，${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!}$是廣義座標，是時間${\displaystyle t\,\!}$的函數，${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }=\left({\dot {q}_{1},{\dot {q}_{2},\ldots ,{\dot {q}_{N}\right)\,\!}$是廣義速度。

在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導：

設定函數${\displaystyle \mathbf {y} (x)\,\!}$和${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)\,\!}$：

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }(x)=({\dot {y}_{1}(x),\ {\dot {y}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}_{N}(x))\,\!}$、

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}_{1}(x),\ {\dot {y}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}_{N}(x),\ x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle x\,\!}$是自變數（independent variable）。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)dx\,\!}$取得局部平穩值，則在區間${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$內，歐拉-拉格朗日方程式成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}_{i}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!}$。

現在，執行下述轉換：

• 設定獨立變數${\displaystyle x\,\!}$為時間${\displaystyle t\,\!}$、
• 設定函數${\displaystyle y_{i}\,\!}$為廣義坐標${\displaystyle q_{i}\,\!}$、
• 設定泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)\,\!}$為拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} },\ t)\,\!}$，

則可得到拉格朗日方程式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }-{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial \mathbf {q} }=\mathbf {0} \,\!}$。

• 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
• 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

${\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} })=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!}$；

則稱此系統為半完整系統^[1]。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!}$；

其中，${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} },\ t)\,\!}$是未知函數。

由於這${\displaystyle N\,\!}$個廣義坐標中，有${\displaystyle n\,\!}$個相依的廣義坐標，泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)\,\!}$不能直接被轉換為拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}\,\!}$；必須加入拉格朗日乘子，將泛函${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} },\ x)\,\!}$轉換為${\displaystyle {\mathcal {L}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!}$。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }-{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial \mathbf {q} }={\boldsymbol {\mathcal {F}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}\,\!}$是廣義力，${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!}$。

這${\displaystyle N\,\!}$個廣義力運動方程式加上${\displaystyle n\,\!}$個約束方程式，給出${\displaystyle N+n\,\!}$個方程式來解${\displaystyle N\,\!}$個未知廣義坐標與${\displaystyle n\,\!}$個拉格朗日乘子。

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力${\displaystyle F=mg\,\!}$作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式

${\displaystyle {\ddot {x}=g\,\!}$；

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能${\displaystyle T\,\!}$是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}mv^{2}\,\!}$，

位勢${\displaystyle V\,\!}$是

${\displaystyle V=-mgx\,\!}$；

所以，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}\,\!}$是

${\displaystyle {\mathcal {L}=T-V={\frac {1}{2}m{\dot {x}^{2}+mgx\,\!}$ 。

將${\displaystyle {\mathcal {L}\,\!}$代入拉格朗日方程式，

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial {\dot {x}-{\frac {\partial {\mathcal {L}{\partial x}=m{\frac {d{\dot {x}{dt}-mg\,\!}$。

運動方程式是

${\displaystyle {\ddot {x}=g\,\!}$；

與牛頓方法的運動方程式相同。

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是${\displaystyle m\,\!}$，位置是${\displaystyle (x,\ y)\,\!}$。擺繩的長度是${\displaystyle l\,\!}$。擺的支撐點Q的質量是${\displaystyle M\,\!}$。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是${\displaystyle (X,\ 0)\,\!}$。擺繩與y-軸的夾角是${\displaystyle \theta \,\!}$。那麼，動能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}M{\dot {X}^{2}+{\frac {1}{2}m\left({\dot {x}^{2}+{\dot {y}^{2}\right)\,\!}$，

位勢為

${\displaystyle V=-mgy\,\!}$。

所以，拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}={\frac {1}{2}M{\dot {X}^{2}+{\frac {1}{2}m\left({\dot {x}^{2}+{\dot {y}^{2}\right)+mgy\,\!}$。

兩個約束方程式為

${\displaystyle x=X+l\sin \theta \,\!}$、

${\displaystyle y=l\cos \theta \,\!}$。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

${\displaystyle {\mathcal {L}={\frac {1}{2}M{\dot {X}^{2}+{\frac {1}{2}m\left[\left({\dot {X}+l{\dot {\theta }\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!}$。

特別注意，在這裏，廣義坐標是${\displaystyle X\,\!}$與${\displaystyle \theta \,\!}$。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於${\displaystyle X\,\!}$坐標，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\left[(M+m){\dot {X}+ml{\dot {\theta }\cos \theta \right]=0\,\!}$。

運動方程式為

${\displaystyle (M+m){\ddot {X}+ml{\ddot {\theta }\cos \theta -ml{\dot {\theta }^{2}\sin \theta =0\,\!}$。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標${\displaystyle X\,\!}$，稱${\displaystyle X\,\!}$為可略坐標，而其相對應的廣義動量${\displaystyle p_{X}\,\!}$是常數${\displaystyle K_{1}\,\!}$：

${\displaystyle p_{X}=(M+m){\dot {X}+ml{\dot {\theta }\cos \theta =K_{1}\,\!}$。

對於${\displaystyle \theta \,\!}$坐標，可以得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }+{\dot {X}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}l{\dot {\theta }+gl)\sin \theta =0\,\!}$；

所以，運動方程式為

${\displaystyle {\ddot {\theta }+{\frac {\ddot {X}{l}\cos \theta +{\frac {g}{l}\sin \theta =0\,\!}$。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

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