E1 函数（顶）和Ei函数（底）。 在数学 中，指数积分 是函数 的一种，它不能表示为初等函数 。
对于实数x ，指数积分Ei(x )可以定义为：
Ei
(
x
)
=
∫
−
∞
x
e
t
t
d
t
.
{\displaystyle {\mbox{Ei}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}{t}\,\mathrm {d} t.\,}
其中
e
t
{\displaystyle e^{t}
指数函数 。以上的定义可以用于正数x ，但这个积分必须用柯西主值 的概念来理解。
对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了[ 1]
E
1
(
z
)
=
∫
z
∞
e
−
t
t
d
t
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
.
{\displaystyle {\rm {E}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}{t}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}(z)|<\pi .}
当自变量的实数部分为正时，可以转换为：
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
e
−
t
z
t
d
t
,
ℜ
(
z
)
≥
0.
{\displaystyle {\rm {E}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}{t}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.}
Ei与E1 有以下关系：
E
i
(
−
x
±
i
0
)
=
−
E
1
(
x
)
∓
i
π
,
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\rm {Ei}(-x\pm {\rm {i}0)=-{\rm {E}_{1}(x)\mp {\rm {i}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)}
−
E
i
(
x
)
=
1
2
E
1
(
−
x
+
i
0
)
+
1
2
E
1
(
−
x
−
i
0
)
,
(
x
>
0
)
.
{\displaystyle -{\rm {Ei}(x)={\frac {1}{2}{\rm {E}_{1}(-x+{\rm {i}0)+{\frac {1}{2}{\rm {E}_{1}(-x-{\rm {i}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.}
指数积分可以用以下的收敛级数来表示：
Ei
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
k
=
1
∞
x
k
k
k
!
,
x
>
0
{\displaystyle {\mbox{Ei}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}{k\;k!}\,,~~~~~x>0}
E
1
(
z
)
=
−
γ
−
ln
z
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
z
k
k
k
!
,
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}{k\;k!}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}(z)>0}
其中
γ
≈
0.5772156649015328606...
{\displaystyle ~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~}
欧拉-马歇罗尼常数 。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要
x
>
0
{\displaystyle ~x\!>\!0~}
截断和中取
N
{\displaystyle ~N~}
自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：
E
1
(
z
)
=
exp
(
−
z
)
z
[
∑
n
=
0
N
−
1
n
!
(
−
z
)
n
+
O
(
N
!
z
N
)
]
{\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}+{\mathcal {O}\left({\frac {N!}{z^{N}\right)\right]}
这个截断和可以用来计算
R
e
(
z
)
≫
1
{\displaystyle ~{\rm {Re}(z)\!\gg \!1~}
图中描述了以上估计的相对误差。
E
1
{\displaystyle ~E_{1}~}
E
1
{\displaystyle ~E_{1}~}
exp
(
−
x
)
2
ln
(
1
+
2
x
)
<
E
1
(
x
)
<
exp
(
−
x
)
ln
(
1
+
1
x
)
x
>
0
{\displaystyle {\frac {\exp(-x)}{2}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}\right)~~~~~~~~x\!>\!0}
这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是
E
1
(
x
)
{\displaystyle ~{\rm {E}_{1}(x)~}
指数积分与对数积分 li(x )有密切的关系：
li(x ) = Ei (ln (x )) 对于所有正实数x ≠ 1。 另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：
E
1
(
x
)
=
∫
1
∞
e
−
t
x
t
d
t
=
∫
x
∞
e
−
t
t
d
t
.
{\displaystyle {\rm {E}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}{t}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}{t}\,\mathrm {d} t.}
这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：
E
i
(
−
x
)
=
−
E
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\rm {Ei}(-x)=-{\rm {E}_{1}(x).\,}
我们可以把两个函数都用整函数 来表示：
E
i
n
(
x
)
=
∫
0
x
(
1
−
e
−
t
)
d
t
t
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
k
k
!
.
{\displaystyle {\rm {Ein}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}{k\;k!}.}
利用这个函数，我们可以用对数来定义：
E
1
(
z
)
=
−
γ
−
ln
z
+
E
i
n
(
z
)
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
{\displaystyle {\rm {E}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}(z)|<\pi ~}
以及
E
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
E
i
n
(
−
x
)
,
x
>
0.
{\displaystyle {\rm {Ei}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}(-x),~~~~~~x>0.}
指数积分还可以推广为：
E
n
(
x
)
=
∫
1
∞
e
−
x
t
t
n
d
t
,
{\displaystyle {\rm {E}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}{t^{n}\,\mathrm {d} t,}
它是不完全伽玛函数 的一个特例：
E
n
(
x
)
=
x
n
−
1
Γ
(
1
−
n
,
x
)
.
{\displaystyle {\rm {E}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,}
这个推广的形式有时成为Misra函数
φ
m
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{m}(x)}
φ
m
(
x
)
=
E
−
m
(
x
)
.
{\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E}_{-m}(x).\,}
函数
E
n
{\displaystyle ~{\rm {E}_{n}~}
E
1
{\displaystyle ~{\rm {E}_{1}~}
E
n
′
(
z
)
n
−
1
(
z
)
,
(
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
,
n
>
0
)
{\displaystyle {\rm {E}_{n}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}(z)|<\pi ,~~~n>0)}
然而，这里假设了
n
{\displaystyle ~n~}
n
{\displaystyle ~n~}
x 的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。
E
1
(
i
x
)
{\displaystyle {\rm {E}_{1}({\rm {i}\!~x)}
x
{\displaystyle ~x~}
从以下的表示法中
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
,
(
R
e
(
z
)
≥
0
)
{\displaystyle {\rm {E}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}\,{\rm {d}t,~~~~~~({\rm {Re}(z)\geq 0)}
可以看出指数积分与正弦积分 （Si）和余弦积分 （Ci）之间的关系：
E
1
(
i
x
)
=
−
π
2
+
S
i
(
x
)
−
i
⋅
C
i
(
x
)
,
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\rm {E}_{1}({\rm {i}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}+{\rm {Si}(x)-{\rm {i}\cdot {\rm {Ci}(x),~~~~~~~~~(x>0)}
图中的黑色和红色曲线分别描述了
E
1
(
x
)
{\displaystyle ~{\rm {E}_{1}(x)~}
Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover
![{\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}+{\mathcal {O}\left({\frac {N!}{z^{N}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63236aa84be6c9b307a30ee942c138bcce710822)
