矩阵的平方根 在数学 中,矩阵 的平方根 是算术中的平方根 概念的推广。对一个矩阵A ,如果矩阵B 满足
B ⋅ B = A {\displaystyle B\cdot B=A} 那么矩阵B 就是A 的一个平方根。
计算 与算术中的平方根概念不同,矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法 的定义,只有方块矩阵 才有平方根。[ 1]
对角化算法 如果矩阵的系数域是代数闭域 ,比如说复数 域C {\displaystyle \mathbb {C} } 的时候,对于一个对角矩阵 ,其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵 。一个所谓的可对角化矩阵A 是指可以通过相似变换 成为对角矩阵D 的矩阵:
∃ P , A = P D P − 1 {\displaystyle \exists P,\quad A=PDP^{-1} 其中的矩阵P 是可逆 的矩阵。在这种情况之下,假设矩阵D 的形式是:
D = [ d 1 0 0 ⋯ 0 0 d 2 0 ⋯ 0 ⋮ 0 ⋱ 0 ⋮ 0 ⋯ 0 d n − 1 0 0 ⋯ 0 0 d n ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix} 那么矩阵A 的平方根就是:
A 1 2 = P D 1 2 P − 1 {\displaystyle A^{\frac {1}{2}=PD^{\frac {1}{2}P^{-1} 其中的D 1 2 {\displaystyle D^{\frac {1}{2} 是:
D 1 2 = [ d 1 0 0 ⋯ 0 0 d 2 0 ⋯ 0 ⋮ 0 ⋱ 0 ⋮ 0 ⋯ 0 d n − 1 0 0 ⋯ 0 0 d n ] {\displaystyle D^{\frac {1}{2}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}\end{bmatrix} [ 2]
丹曼-毕福斯迭代算法 另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵A 的平方根时,先设矩阵Y 0 = A {\displaystyle Y_{0}=A} ,Z 0 = I n {\displaystyle Z_{0}=I_{n} (I n {\displaystyle I_{n} 是n × n {\displaystyle n\times n} 的单位矩阵 )。然后用以下的迭代公式计算矩阵序列 ( Y k ) k ⩾ 0 {\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0} 和( Z k ) k ⩾ 0 {\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0} :
Y k + 1 = Y k + Z k − 1 2 {\displaystyle Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}{2} Z k + 1 = Z k + Y k − 1 2 {\displaystyle Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}{2} 这样的两个序列将会收敛 到两个矩阵Y {\displaystyle Y} 和Z {\displaystyle Z} 上。其中Y {\displaystyle Y} 将会是矩阵的平方根,而Z {\displaystyle Z} 将是Y {\displaystyle Y} 的逆矩阵。
参见
参考来源 Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J., Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, 22 (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015 , (原始内容 (PDF) 存档于2011-08-09) Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, 2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5
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