算术-几何平均数

两个正实数${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的算术-几何平均数定义如下：

首先计算${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$算术平均数（相加平均），称其为${\displaystyle a_{1}$。然后计算${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$几何平均数（相乘平均），称其为${\displaystyle g_{1}$；这是${\displaystyle xy}$的算术平方根。

${\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}$

${\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}.}$

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列${\displaystyle \{a_{n}\}$和${\displaystyle \{g_{n}\}$：

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}{2}$

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}.}$

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的算术-几何平均数，记为${\displaystyle M(x,y)}$，或${\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)}$。

欲计算${\displaystyle a_{0}=24}$和${\displaystyle g_{0}=6}$的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

${\displaystyle a_{1}={\frac {24+6}{2}=15,}$

${\displaystyle g_{1}={\sqrt {24\times 6}=\,}$${\displaystyle 12}$

然后进行迭代：

${\displaystyle a_{2}={\frac {15+12}{2}=13.5,}$

${\displaystyle g_{2}={\sqrt {15\times 12}=\,}$${\displaystyle 13.416407864999}$ etc.

继续计算，可得出以下的值：

${\displaystyle n}$	${\displaystyle a_{n}$	${\displaystyle g_{n}$
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416407864999...
3	13.458203932499...	13.458139030991...
4	13.458171481745...	13.458171481706...

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

${\displaystyle M(x,y)}$是一个介于${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果${\displaystyle r>0}$，则${\displaystyle M(rx,ry)=rM(x,y)}$。

${\displaystyle M(x,y)}$还可以写为如下形式：

${\displaystyle \mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}\right)}$

其中${\displaystyle K(x)}$是第一类完全椭圆积分。

1和${\displaystyle {\sqrt {2}$的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2})}=G=0.8346268\dots }$

由算术几何不等式可得

${\displaystyle g_{n}\leqslant a_{n}$

因此

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}=g_{n}$

这意味着 ${\displaystyle \{g_{n}\}$ 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（${\displaystyle x,y}$ 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 ${\displaystyle g}$ 使得:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$

然而，我们又有:

${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}{g_{n}$

从而:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}{g_{n}={\frac {g^{2}{g}=g}$

证毕。

该证明由高斯首次提出^[1]。 令

${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta },}$

将积分变量替换为 ${\displaystyle \theta '}$, 其中

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '},}$

于是可得

${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {\bigl (}{\frac {1}{2}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}(x+y),{\sqrt {xy}{\bigr )}.\end{aligned}$

因此，我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}.\end{aligned}$

最后一个等式可由 ${\displaystyle I(z,z)={\frac {\pi }{2z}$ 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：

${\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}.}$

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