逻辑运算符
在形式逻辑中,逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如,假设有两个逻辑命题,分别是“正在下雨”和“我在屋里”,我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨,并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨,那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。又称逻辑操作符(Logical Operators)。
基本運算符
基本的操作符有:“非”(¬)、“与”(∧)、“或”(∨)、“条件”(→)以及“双条件”(↔)。“非”是一个一元操作符,它只操作一项(¬ P)。剩下的是二元操作符,操作两项来组成复杂语句(P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q)。
注意,符号“与”(∧)和交集(∩),“或”(∨)和并集(∪)的相似性。这不是巧合:交集的定义使用“与”,并集的定义是用“或”。
这些连接符的真值表:
P | Q | ¬P | P ∧ Q | P ∨ Q | P → Q | P ↔ Q |
T | T | F | T | T | T | T
|
T | F | F | F | T | F | F
|
F | T | T | F | T | T | F
|
F | F | T | F | F | T | T
|
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为了减少需要的括号的数量,有以下的优先规则:¬高于∧,∧高于∨,∨高于→。例如,P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的简便写法。
二元邏輯聯結詞表
下面是在輸入P和Q上的16個二元布林函數。
永假 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| ![{\displaystyle \bot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f282c7bc331cc3bfcf1c57f1452cc23c022f58de) | P ¬P | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Venn0000.svg/100px-Venn0000.svg.png) |
| 永真 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| ![{\displaystyle \top }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf12e436fef2365e76fcb1034a51179d8328bb33) | P ¬P | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Venn1111.svg/100px-Venn1111.svg.png) |
|
合取 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P Q P & Q P · Q P AND Q | P ¬Q ¬P Q ¬P ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Venn0001.svg/100px-Venn0001.svg.png) |
| 與非 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P ↑ Q P | Q P NAND Q | P → ¬Q ¬P ← Q ¬P ∨ ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Venn1110.svg/100px-Venn1110.svg.png) |
|
非蘊涵 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P Q P Q | P & ¬Q ¬P ↓ Q ¬P ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Venn0100.svg/100px-Venn0100.svg.png) |
| 蘊涵 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P → Q P Q | P ↑ ¬Q ¬P ∨ Q ¬P ← ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Venn1011.svg/100px-Venn1011.svg.png) |
|
命題P | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P | | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Venn0101.svg/100px-Venn0101.svg.png) |
| 非P | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| ¬P ~P | | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Venn1010.svg/100px-Venn1010.svg.png) |
|
反非蘊涵 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P Q P Q | P ↓ ¬Q ¬P & Q ¬P ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Venn0010.svg/100px-Venn0010.svg.png) |
| 反蘊涵 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P Q P Q | P ∨ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Venn1101.svg/100px-Venn1101.svg.png) |
|
命題Q | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| Q | | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Venn0011.svg/100px-Venn0011.svg.png) |
| 非Q | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| ¬Q ~Q | | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Venn1100.svg/100px-Venn1100.svg.png) |
|
異或 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P Q P Q P Q P XOR Q | P ↔ ¬Q ¬P ↔ Q ¬P ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Venn0110.svg/100px-Venn0110.svg.png) |
| 雙條件 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P ↔ Q P ≡ Q P XNOR Q P IFF Q | P ¬Q ¬P Q ¬P ↔ ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Venn1001.svg/100px-Venn1001.svg.png) |
|
析取 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P ∨ Q P ∨ Q P OR Q | P ¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Venn0111.svg/100px-Venn0111.svg.png) |
| 或非 | 符號
| 等價公式
| 真值表
| 文氏圖
| P ↓ Q P NOR Q | P ¬Q ¬P Q ¬P ∧ ¬Q | | ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Venn1000.svg/100px-Venn1000.svg.png) |
|
圖示
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- 恆真(
)
| |
- 与非(
) - 反蕴涵(
) - 蕴涵(
) - 或(
)
|
- 非(
) - 异或(
) - 双条件(
) - 命题
|
- 或非(
) - 非蕴涵(
) - 反非蕴涵(
) - 与(
)
|
- 恆假(
)
|