قاعدة الضرب

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :

لهذا يمكن القول تبعا لترميز لاغرانج :

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$

أو بترميز لايبنز :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}(uv)=u{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} x}+v{\mathrm {d} u \over \mathrm {d} x}.}$.^[1][2][3]

أمثلة

لنحسب تفاضل ${\displaystyle f(x)=\sin(x)\cos(x)}$. حسب قاعدة الضرب لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x)\cos(x){\big ]}&=\sin(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\cos(x){\big ]}+\cos(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x){\big ]}\\&=-\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\\&=1-2\sin ^{2}(x).\end{aligned}$

البراهين

لتكن ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$، ونعتبر أن ${\displaystyle g'(x)}$ و${\displaystyle f'(x)}$ موجودين. لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)-f(x)]\cdot g(x+a)+f(x)\cdot [g(x+a)-g(x)]}{a}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}\cdot \lim _{a\to 0}g(x+a)+\lim _{a\to 0}f(x)\cdot \lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}$

تعميمات

جداء أكثر من حدين

قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}={\frac {du}{dx}vw+u{\frac {dv}{dx}w+uv{\frac {dw}{dx}.}$

من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}$، يتوفر ما يلي:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}\right).}$

اشتقاق من درجات عليا

انظر إلى مبرهنة ذي الحدين.

${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$

مراجع

انظر أيضا

• دوال عكسية وتفاضلها

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات