اختبار النسبة (رياضيات)

في الرياضيات، اختبار النسبة (بالإنجليزية: Ratio test)‏ هو اختبار يحدد تقارب المتسلسلة ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ من عدمه، حيث ${\displaystyle a_{n}$ هو عدد حقيقي أو عقدي لا يساوي الصفر عندما يصير n كبيرا.^[1][2][3] أول من نشر هذا الاختبار هو عالم الرياضيات الفرنسي لورن دالمبير.

يستعمل الشكل الاعتيادي لهذه الاختبار النهاية التالية:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}{a_{n}\right|.}$

(1)

ينص الاختبار على ما يلي:

• إذا كان L < 1 فإن المتسلسلة تتقارب مطلقا.
• إذا كان L > 1 فإن المتسلسلة تتباعد.
• إذا كان L = 1 أو لم تكن هذه النهاية موجودة، فإنه لا جدوى من هذا الاختبار لأن هناك متسلسلات متقاربات يحققن هذا الشرط ولكن هناك أيضا متسلسلات متباعدات أيضا يحققنه.

لتكن المتسلسلة التالية :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}$

استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}{a_{n}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}{\frac {n}{e^{n}\right|={\frac {1}{e}<1.}$

بما أن هذه النهاية هي أصغر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتقارب.

لتكن المتسلسلة التالية :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}{n}.}$

استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}{a_{n}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}{n+1}{\frac {e^{n}{n}\right|=e>1.}$

بما أن هذه النهاية هي أكبر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتباعد.

لتكن المتسلسلات الثلاث التالية:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n}.}$

${\displaystyle \sum _{i=N+1}^{\infty }|a_{i}|=\sum _{i=1}^{\infty }\left|a_{N+i}\right|<\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}|a_{N}|=|a_{N}|\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=|a_{N}|{\frac {r}{1-r}<\infty .}$

• نصف قطر التقارب

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات