Матэматычнае спадзяванне

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да .

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега

Няхай зададзена прастора імавернасцей і азначаная на ёй выпадковая велічыня . То бок, паводле азначэння,  — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад па прасторы , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца або :

Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны , кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання[1]:111.

Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні

Калі  — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса[1]:112:

, .

Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю , роўнае[1]:112

.

Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні

Калі  — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем

, ,

тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што[1]:112

.

Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні

  • Калі  — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей
, , ,

то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці

Уласцівасці матэматычнага спадзявання

  • Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
 — канстанта;
,
дзе  — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а  — любыя канстанты;
У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.
  • Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі амаль напэўна, і  — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні таксама канечнае, і больш за тое:
.
  • Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі амаль напэўна, то
.
  • Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь роўнае здабытку іх матспадзяванняў
.
  • Для ўсякай барэлеўскай[en] і інтэгравальнай па меры функцыі[заўв 1] матэматычнае спадзяванне існуе і роўнае[1]:113

Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні , азначанай на прасторы імавернасцей з канечным матспадзяваннем , справядліва няроўнасць:

, дзе .

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай  — прастора імавернасцей,  — азначаная на ёй выпадковая велічыня,  — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што , тады

.

Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем

  • Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
  • Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць

Зноскі

  1. а б в г д Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

Заўвагі

  1. На практыцы гэтыя ўмовы часта выконваюцца.

Літаратура