Умоўная імавернасць

Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць[en]
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера[en]
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма
Г Р П

Умоўная імавернасць — імавернасць здзяйснення пэўнай выпадковай падзеі пры ўмове таго, што некаторая іншая падзея здзейснілася.

Няхай для некаторай падзеі ${\displaystyle B}$ выконваецца ${\displaystyle P(B)>0}$. Умоўнай імавернасцю ${\displaystyle P(A|B)}$ падзеі ${\displaystyle B}$ пры ўмове, што адбылася падзея ${\displaystyle B}$ (карацей «пры ўмове ${\displaystyle B}$»), называецца дзель^[1]:33

$${\displaystyle P(A|B):={\frac {P(AB)}{P(B)}.}$$

Часам умоўную імавернасць ${\displaystyle P(A|B)}$ пазначаюць як ${\displaystyle P_{B}(A)}$.

Няхай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A},P)}$ — імавернасная прастора, а ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}$ — падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць ${\displaystyle P(A|B)}$ вызначае новую імавернасную прастору ${\displaystyle (B,{\mathcal {A}_{B},P_{B})}$, дзе σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}_{B}:=\{C|\exists A\in {\mathcal {A}:C=AB\}.}$ Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцей^[1]:33-34.

Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:

$${\displaystyle P(C|B)=P(AB|B)={\frac {P(ABB)}{P(B)}={\frac {P(AB)}{P(B)}\geq 0;}$$ $${\displaystyle P_{B}(B)={\frac {P(BB)}{P(B)}=1.}$$

Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {A}_{B}$ і ${\displaystyle C_{1}C_{2}=\varnothing }$. Існуюць ${\displaystyle A_{1},A_{2}$ такія, што ${\displaystyle C_{1}=A_{1}B,C_{2}=A_{2}B}$. Маем

$${\displaystyle P(C_{1}+C_{2}|B)={\frac {P((C_{1}+C_{2})B)}{P(B)}={\frac {P(A_{1}BB+A_{2}BB)}{P(B)}=}$$ $${\displaystyle ={\frac {P(A_{1}B+A_{2}B)}{P(B)}=P(C_{1}|B)+P(C_{2}|B).}$$

Возьмем паслядоўнасць ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \dots }$, для якой ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }C_{n}=\varnothing }$, дзе ўсе ${\displaystyle C_{n}\in {\mathcal {A}_{B}$, г.зн. існуюць ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}$, такія, што ${\displaystyle C_{n}=A_{n}B}$. Адсюль маем

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(C_{n}|B)=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(A_{n}B)}{P(B)}={\frac {1}{P(B)}\lim _{n\to \infty }P(A_{n}B)=0.}$$

Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.

Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей $${\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B).}$$ Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцей^[1]:34-36. Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$, для якіх выконваецца няроўнасць ${\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})>0}$:

$${\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}$$

Калі ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}$ — поўная група падзей і ${\displaystyle P(A_{j})>0}$ для ўсіх ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$, то для кожнай падзеі ${\displaystyle B}$ справядліва роўнасць

$${\displaystyle P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць ${\displaystyle P(B|A_{k})}$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць ${\displaystyle B}$ пры выкананні гіпотэзы ${\displaystyle A_{k}$»^[1]:37.

Калі ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}$ — поўная група падзей і ўсе ${\displaystyle P(A_{k})>0}$, а ${\displaystyle B}$ — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то^[1]:39 $${\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}.}$$

• Умоўнае размеркаванне імавернасцей