조건부 확률

통계학 시리즈의 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 비결정론 무작위성
확률공간 표본공간 사건 전체 포괄 사건 근원사건 상호 배타성 결과 한원소 시행 베르누이 시행 확률분포 베르누이 분포 이항분포 정규분포 확률 측도 확률변수 베르누이 과정 연속/이산 기댓값 마르코프 연쇄 관측값 무작위 행보 확률과정
여사건 결합 확률 주변 확률 조건부 확률
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확률론에서 조건부 확률(條件附確率, 영어: conditional probability)은 주어진 사건이 일어났을 때 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 원래의 확률 함수를 ${\displaystyle \operatorname {Pr} }$라고 할 때, 사건 ${\displaystyle B}$가 일어났을 때 사건 ${\displaystyle A}$가 일어날 조건부 확률은 ${\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)}$로 표기한다.

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F},\operatorname {Pr} )}$ 및 양의 확률의 사건

${\displaystyle A\in {\mathcal {F}$

${\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}$

이 주어졌다고 하자. 임의의 사건 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}$에 대하여, ${\displaystyle A}$에 대한 ${\displaystyle B}$의 조건부 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)={\frac {\operatorname {Pr} (A\cap B)}{\operatorname {Pr} (A)}$

이 경우, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F},\operatorname {Pr} (\cdot |A))}$는 새로운 확률 공간을 이룬다.

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F},\operatorname {Pr} )}$ 및 두 사건 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}$이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률 ${\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}$을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]:15

${\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)=\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}$

즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 ${\displaystyle A}$가 일어날 확률과 ${\displaystyle A}$가 일어났을 때 ${\displaystyle B}$가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의 ${\displaystyle n}$개의 사건 ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})>0}$이라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Pr} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\operatorname {Pr} (A_{1})\operatorname {Pr} (A_{2}|A_{1})\operatorname {Pr} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdots \operatorname {Pr} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})}$

특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률 ${\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0}$을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A,B}$는 독립 사건이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Pr} (B|A)=\operatorname {Pr} (B)}$. 즉 ${\displaystyle B}$의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.

임의의 세 사건 ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {F}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \operatorname {Pr} (A\cap B)>0}$이라면, 다음 항등식이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Pr} ((C|B)|A)=\operatorname {Pr} (C|A\cap B)}$

확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F},\operatorname {Pr} )}$ 및 가산 개의 양의 확률의 사건들의 족

${\displaystyle {\mathcal {A}\subseteq {\mathcal {F}$

${\displaystyle |{\mathcal {A}|\leq \aleph _{0}$

${\displaystyle \operatorname {Pr} (A)>0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}$

이 주어졌다고 하고, ${\displaystyle {\mathcal {A}$가 전체 공간 ${\displaystyle \Omega }$을 분할한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Pr} (B)=\sum _{A\in A}\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}$ (전체 확률의 법칙)

${\displaystyle \operatorname {Pr} (A|B)={\frac {\operatorname {Pr} (A)\operatorname {Pr} (B|A)}{\sum _{A'\in {\mathcal {A}\operatorname {Pr} (A')\operatorname {Pr} (B|A')}\qquad ({\mathcal {A}\in {\mathcal {A},\;B\in {\mathcal {F},\;\operatorname {Pr} (B)>0)}$ (베이즈 정리)

• 몬티 홀 문제

• “Conditional probability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Conditional probability”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.