Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar .
a
→
⋅
b
→
=
b
→
⋅
a
→
=
|
a
→
|
|
b
→
|
cos
ϕ
{\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}={\vec {b}\cdot {\vec {a}=\left|{\vec {a}\right|\left|{\vec {b}\right|\cos \phi }
[1]
Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1 . Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90° ) jednak je 0 , jer je kosinus pravog ugla 0 .
Skalarni proizvod je komutativan , distributivan i linearan.
Definicija i primjer
Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a 1 , a 2 , … , a n ] i vektora b = [b 1 , b 2 , … , b n ] :
a
⋅
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}
gdje Σ označava sabiranje po komponentama.
Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1] :
[
1
3
−
5
]
⋅
[
4
−
2
−
1
]
=
(
1
)
(
4
)
+
(
3
)
(
−
2
)
+
(
−
5
)
(
−
1
)
=
3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.}
Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao
a
⋅
b
=
∑
b
i
¯
a
i
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {\overline {b_{i}a_{i}
gdje je
b
i
¯
{\displaystyle {\overline {b_{i}
konjugovano kompleksan broj od
b
i
{\displaystyle b_{i}
; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je
a
⋅
b
=
b
⋅
a
¯
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }
Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora . Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod .
Geometrijska interpretacija
S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.
a
⋅
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
θ
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,}
⟹
{\displaystyle \Longrightarrow }
θ
=
arccos
(
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
)
.
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}\right).}
Dokaz geometrijske intepretacije
Razmotrimo vektor
v
=
v
1
i
+
v
2
j
+
v
3
k
.
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} .\,}
Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v
v
2
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
.
{\displaystyle v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.\,}
Dobijeno je isto kao i
v
⋅
v
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
,
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2},\,}
tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.
Lema 1
v
⋅
v
=
v
2
.
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v^{2}.\,}
Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao
c
=
d
e
f
a
−
b
.
{\displaystyle \mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,}
tvoreći trougao sa stranicama a , b i c . Prema kosinusnom teoremu , imamo da je
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\,}
Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
(1)
Ali pošto je c ≡ a − b , također imamo da je
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,}
,
što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,}
(2)
Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2) , dobijamo
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam
a
⋅
b
=
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \theta .\,}
Q.E.D.
Dokaz kosinusne teoreme
Kako je
c
=
a
−
b
{\displaystyle c=a-b}
imamo:
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )}
=
a
⋅
a
−
a
⋅
b
−
b
⋅
a
+
b
⋅
b
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
=
{\displaystyle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{2}+\mathbf {b} ^{2}-2ab=}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }
Trostruki proizvod
a
×
(
b
×
c
)
=
b
(
a
⋅
c
)
−
c
(
a
⋅
b
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
Projekcija vektora na vektor
Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor[2] tj.
a
→
b
0
→
=∣
a
→
∣
c
o
s
ω
=
a
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b_{0}=\mid {\overrightarrow {a}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}
skalarna projekcija vektora
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
na vektor
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
a
→
b
0
→
=∣
a
→
∣
c
o
s
ω
=
b
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b_{0}=\mid {\overrightarrow {a}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}
skalarna projekcija vektora
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
na vektor
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
(
a
→
b
0
→
)
∗
b
0
→
=
a
b
b
0
→
{\displaystyle ({\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b_{0})*{\overrightarrow {b_{0}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}
vektorska projekcija vektora
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
na vektor
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
(
a
0
→
b
→
)
∗
a
0
→
=
b
a
a
0
→
{\displaystyle ({\overrightarrow {a_{0}{\overrightarrow {b})*{\overrightarrow {a_{0}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}
vektorska projekcija vektora
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
na vektor
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
Posljedice skalarnog množenja
a
→
⋅
b
→
=
0
⇒
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\cdot {\overrightarrow {b}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}\bot {\overrightarrow {b}
[3]
a
→
a
→
=∣
a
→
∣∣
a
→
∣
cos
0
=∣
a
→
∣
2
=>∣
a
→
∣
a
→
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {a}=\mid {\overrightarrow {a}\mid \mid {\overrightarrow {a}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}\mid {\sqrt {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {a}
a
→
⊥
b
→
=>
a
→
b
→
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\perp {\overrightarrow {b}=>{\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b}=0}
a
→
b
→
=
0
=>
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b}=0=>{\overrightarrow {a}\perp {\overrightarrow {b}
ili je bar jedan od vektora
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {0}
c
o
s
ω
=
a
→
b
→
∣
a
→
∣∣
a
→
∣
{\displaystyle cos\omega ={\frac {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b}{\mid {\overrightarrow {a}\mid \mid {\overrightarrow {a}\mid }
(
0
<
ω
<
π
{\displaystyle 0<\omega <\pi }
)
Osobine skalarnog proizvoda
a
→
a
→
≥
0
a
→
a
→
=
0
<=>
a
→
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {a}\geq 0\ {\overrightarrow {a}{\overrightarrow {a}=0<=>{\overrightarrow {a}={\overrightarrow {0}
[4]
λ
(
a
→
b
→
)
=
(
λ
a
→
)
b
→
)
=
a
→
(
λ
b
→
)
{\displaystyle \lambda ({\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b})=(\lambda {\overrightarrow {a}){\overrightarrow {b})={\overrightarrow {a}(\lambda {\overrightarrow {b})}
a
→
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
b
→
+
a
→
c
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}({\overrightarrow {b}+{\overrightarrow {c})={\overrightarrow {a}{\overrightarrow {b}+{\overrightarrow {a}{\overrightarrow {c}
Izvori
Reference
Također pogledajte
Reference
Osnovni koncepti Matrice
Blok
Dekompozicija
Invertibilna
Minor
Množenje
Rang
Transformacija
Cramerovo pravilo
Gaussova eliminacija
Bilinearno preslikavanje
Ortogonalnost
Skalarni proizvod
Prostor skalarnog proizvoda
Vanjski proizvod
Kroneckerov proizvod
Gram–Schmidtov postupak
Multilinearna algebra
Determinanta
Vektorski proizvod
Trostruki proizvod
Sedmodimenzionalni vektorski proizvod
Geometrijska algebra
Eksterijerna algebra
Bivektor
Multivektor
Tenzor
Vanjski morfizam
Konstrukcije vektorskog prostora
Dualni prostor
Direktan zbir
Funkcijski prostor
Kvocijentni prostor
Podpostor
Tenzorski proizvod
Numerička
Pokretni zarez
Numerička stabilnost
Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
Prorijeđena matrica
Poređenje biblioteka linearne algebre