Spisak vektorskih identiteta

Ovaj članak je spisak nekoliko korisnih matematičkih identiteta koji se koriste u vektorskoj algebri.

• ${\displaystyle {\vec {A}\times ({\vec {B}\times {\vec {C})=({\vec {C}\times {\vec {B})\times {\vec {A}={\vec {B}({\vec {A}\cdot {\vec {C})-{\vec {C}({\vec {A}\cdot {\vec {B})}$
• ${\displaystyle {\vec {A}\cdot ({\vec {B}\times {\vec {C})={\vec {B}\cdot ({\vec {C}\times {\vec {A})={\vec {C}\cdot ({\vec {A}\times {\vec {B})}$

koje se mogu dokazati dajući proizvoljne komponente ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ and ${\displaystyle C,}$

${\displaystyle {\vec {A}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$

${\displaystyle {\vec {B}=(b_{x},b_{y},b_{z})}$

${\displaystyle {\vec {C}=(c_{x},c_{y},c_{z})}$

te računajući vrijednosti svakog iskaza, kao što je ${\displaystyle {\vec {B}\times {\vec {C}$, će pokazati da su obe strane jednačine jednake.

• ${\displaystyle ({\vec {A}\times {\vec {B})\cdot ({\vec {A}\times {\vec {B})=A^{2}B^{2}-({\vec {A}\cdot {\vec {B})^{2}={\vec {B}\cdot {\vec {A}\times ({\vec {B}\times {\vec {A})}$ (napomena: Ovo je drugi oblik Lagrangeove formule).

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }(fg)=f({\vec {\nabla }g)+g({\vec {\nabla }f)}$
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }({\vec {A}\cdot {\vec {B})={\vec {A}\times ({\vec {\nabla }\times {\vec {B})+{\vec {B}\times ({\vec {\nabla }\times {\vec {A})+({\vec {A}\cdot {\vec {\nabla }){\vec {B}+({\vec {B}\cdot {\vec {\nabla }){\vec {A}$
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }\cdot (f{\vec {A})=f({\vec {\nabla }\cdot {\vec {A})+{\vec {A}\cdot ({\vec {\nabla }f)}$
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }\cdot ({\vec {A}\times {\vec {B})={\vec {B}\cdot ({\vec {\nabla }\times {\vec {A})-{\vec {A}\cdot ({\vec {\nabla }\times {\vec {B})}$
• ${\displaystyle \nabla \times ({\vec {A}\times {\vec {B})=({\vec {B}\cdot \nabla ){\vec {A}-({\vec {A}\cdot \nabla ){\vec {B}+{\vec {A}(\nabla \cdot {\vec {B})-{\vec {B}(\nabla \cdot {\vec {A})}$
• ${\displaystyle \nabla \times ({\vec {A}\times {\vec {B})={\vec {A}\times (\nabla \times {\vec {B})-{\vec {B}\times (\nabla \times {\vec {A})-({\vec {A}\times \nabla )\times {\vec {B}+({\vec {B}\times \nabla )\times {\vec {A}$
• ${\displaystyle \nabla \times (f{\vec {A})=f(\nabla \times {\vec {A})+(\nabla f)\times {\vec {A}$

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }\cdot \left(f{\vec {\nabla }f\right)=f{\vec {\nabla }\cdot \left({\vec {\nabla }f\right)+\left({\vec {\nabla }f\cdot {\vec {\nabla }f\right)=f\nabla ^{2}f+\left({\vec {\nabla }f\cdot {\vec {\nabla }f\right)}$
  therefore
  ${\displaystyle f\nabla ^{2}f={\vec {\nabla }\cdot \left(f{\vec {\nabla }f\right)-\left({\vec {\nabla }f\cdot {\vec {\nabla }f\right)}$

Teorem divergencije

• ${\displaystyle \int _{V}({\vec {\nabla }\cdot {\vec {A})\,dv=\oint _{S}{\vec {A}\cdot d{\vec {a}$

Stokesov teorem

• ${\displaystyle \int _{S}(\nabla \times {\vec {A})\cdot d{\vec {a}=\oint _{C}{\vec {A}\cdot d{\vec {l}$

• Spisak matematičkih identiteta
• Identiteti vektorskog kalkulusa