Pravilo derivacije količnika

U kalkulusu, pravilo derivacije količnika je metoda izračunavanja derivacije funkcije koja je prikazana kao količnik druge dvije funkcije za koje derivaicja postoji.

Ako je funckija ${\displaystyle f(x)}$ ta koju deriviramo, može se pisati kao:

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}$

gdje je ${\displaystyle h(x)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$, tada je derivacija fnkcije ${\displaystyle g(x)/h(x)}$ jednaka:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)}^{2}.}$

Ili, prezicnije, za svako ${\displaystyle x}$ u nekom otvorenom intervalu, a koje sadrži ${\displaystyle a}$, uz ${\displaystyle h(a)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$; i da postoje i ${\displaystyle g'(a)}$ i ${\displaystyle h'(a)}$; tada, ${\displaystyle f'(a)}$ također postoji:

${\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{h(a)^{2}.}$

Primjeri

Derivacija od ${\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)}$ je:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}$	${\displaystyle ={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}$
	${\displaystyle ={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}$
	${\displaystyle ={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}$

U gornjem primjeru, odabrali smo

${\displaystyle g(x)=4x-2}$

${\displaystyle h(x)=x^{2}+1}$

Analogijski, derivacija ${\displaystyle \sin(x)/x^{2}$ (kada je ${\displaystyle x}$ ≠ 0) je:

${\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}$

Za više informacija o derivacijama trigonometrijskih funkcija, pogledajte: Derivacija funkcije.

Drugi primjer je:

${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}{x^{3}$

gdje imamo ${\displaystyle g(x)=2x^{2}$ i ${\displaystyle h(x)=x^{3}$, te ${\displaystyle g'(x)=4x}$ i ${\displaystyle h'(x)=3x^{2}$.

Derivacija ${\displaystyle f(x)}$ se računa na sljedeći način:

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle ={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}$
	${\displaystyle ={\frac {4x^{4}-6x^{4}{x^{6}$
	${\displaystyle ={\frac {-2x^{4}{x^{6}$
	${\displaystyle =-{\frac {2}{x^{2}$

Dokaz

Pretpostavimo funkciju ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$

gdje je ${\displaystyle h(x)}$≠ 0 i gdje su funkcije ${\displaystyle g}$ i ${\displaystyle h}$ diferencijabilne.

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}-{\frac {g(x)}{h(x)}{\Delta x}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}{h(x)h(x+\Delta x)}$

${\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}$

${\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}$

Također pogledajte

• Pravilo derivacije proizvoda
• Pravilo derivacije složene funkcije