Equacions de Cauchy-Riemann

En anàlisi complexa, les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real: són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aquí una funció ${\displaystyle \ f:U\to \mathbb {C} }$ d'una variable complexa, definida en un obert U de ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Emprem les notacions següents:

• la variable complexa ${\displaystyle \ z}$ es nota per ${\displaystyle \ x+i\,y}$, on x, y són reals
• les parts real i imaginària de ${\displaystyle \ f(z)=f(x+i\,y)}$ es noten respectivament per ${\displaystyle \ P(x,y)}$ i ${\displaystyle \ Q(x,y)}$, és a dir: ${\displaystyle \ f(z)=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$, on ${\displaystyle \ P,\,Q}$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en ${\displaystyle \ z_{0}=x_{0}+i\,y_{0}$ es poden escriure sota les formes equivalents següents:

• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}(z_{0})=i\,{\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial Q}{\partial y}(x_{0},y_{0})}$ i ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}(x_{0},y_{0})=-{\frac {\partial Q}{\partial x}(x_{0},y_{0})}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}(z_{0})=0}$

Reben el nom de Augustin Louis Cauchy i Bernhard Riemann, que van ser els primers en estudiar-les i definir-les com un objecte matemàtic "per se", creant a partir d'aquestes la branca de l'anàlisi complexa. També es poden anomenar condicions de Cauchy-Riemann o sistema de Cauchy-Riemann, i l'operador diferencial parcial que apareix a l'esquerra d'aquestes equacions sovint s'anomena operador de Cauchy-Riemann. Tot i això, la primera introducció i ús de les equacions s'atribueix a Jean le Rond d'Alembert l'any 1752, al seu treball sobre hidrodinàmica,^[1] les quals van suposar un gran avanç en aquest camp, com es pot apreciar en treballs posteriors com els de Horace Lamb.^[2]

Diem que la funció ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ és diferenciable en sentit complex, o ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable (o derivable) en un punt ${\displaystyle \ z_{0}\in U}$ si existeix el límit (finit) ${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{h\to 0,\,h\,\in \,\mathbb {C} ^{*}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$, anomenat derivada de f en ${\displaystyle z_{0}$.

Fixem-nos que aquesta condició de ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciabilitat per a funcions de variable complexa és molt més restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'això es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt només cal exigir que existeixin i siguin iguals els límits per la dreta i per l'esquerra quan els increments Δx tendeixen a zero, ja que són les dues úniques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.

Es diu que una funció és holomorfa en un obert de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ si és ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en tot punt d'aquell obert.

Demostració del teorema

Es conserven les notacions precedents; en particular, es nota per r un real tal que ${\displaystyle \ r>0}$ i ${\displaystyle \ B(z_{0},\,r)\subset U}$, i per h un nombre complex tal que ${\displaystyle \ |h|<r}$.

• Suposem que ${\displaystyle \ f}$ sigui ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en ${\displaystyle z_{0}\in U}$: aleshores ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}\to A}$ quan ${\displaystyle h\to 0}$ (hem notat per ${\displaystyle \ A}$ la derivada ${\displaystyle \ f'(z_{0})}$).
  • Es defineix ${\displaystyle \ \epsilon :\ B(0,\,r)\to \mathbb {C} }$ (funció d'una variable complexa):
    • ${\displaystyle \ \epsilon (0)=0}$
    • ${\displaystyle \epsilon (h)={\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}-A}$ si ${\displaystyle h\neq 0}$ (*).
      Aleshores (per definició de A): ${\displaystyle \epsilon (h)\to 0}$ quan ${\displaystyle h\to 0}$
    • (*) es pot escriure: ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+A\,h+h\,\epsilon (h)}$ (quan ${\displaystyle \ h\neq 0}$, i també quan ${\displaystyle \ h=0}$),
    • o sigui: ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)}$, on ${\displaystyle \ L(h)=A\,h}$ (**)
  • És clar que l'aplicació ${\displaystyle L:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,h\mapsto A\,h}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineal (fins i tot ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineal, propietat més forta). Per tant:
    • ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en ${\displaystyle \ z_{0}$
    • ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})=L(1)=A}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}(z_{0})=L(i)=A\,i}$, i finalment : ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}(z_{0})=i\,{\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})}$.
• Recíproc : suposem que ${\displaystyle \ f}$ sigui ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en ${\displaystyle z_{0}\in U}$ i que ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}(z_{0})=i\,{\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})}$, altrament dit: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}(z_{0})=i\,A}$, on ${\displaystyle A={\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})}$ (no s'utilitza aquí cap hipòtesi de continuïtat de les derivades parcials: la hipòtesi precedent concerneix un únic punt. Es podria imaginar que ${\displaystyle \ f}$ no fos diferenciable en cap altre punt).
  • Per hipòtesi, en notar per L la ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferencial de ${\displaystyle \ f}$ en ${\displaystyle \ z_{0}$:
    • ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+h\,\epsilon (h)}$, on ${\displaystyle \epsilon (h)\to 0}$ quan ${\displaystyle h\to 0}$
    • Si ${\displaystyle \ h=u+i\,v}$ (u, v reals), aleshores per ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linealitat de L : ${\displaystyle \,L(h)=u\,L(1)+v\,L(i)=u\,{\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})+v\,{\frac {\partial f}{\partial y}(z_{0})=u\,A+v\,i\,A=A\,(u+i\,v)=A\,h}$
    • Per tant: ${\displaystyle f(z_{0}+h)=f(z_{0})+A\,h+h\,\epsilon (h)}$, i ${\displaystyle \epsilon (h)\to 0}$ quan ${\displaystyle h\to 0}$
    • Si ${\displaystyle h\neq 0}$, se'n dedueix que: ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=A+\epsilon (h)\to A}$ quan ${\displaystyle h\to 0}$. L'existència d'aquest límit prova que ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en ${\displaystyle \ z_{0}$ (és a dir: ${\displaystyle \ f'(z_{0})}$ existeix), i que ${\displaystyle \ f'(z_{0})=A\left(={\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})\right)}$.
    • Això prova també que quan ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en ${\displaystyle \ z_{0}$:
      • la seva diferencial és l'aplicació ${\displaystyle \ L:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,h\mapsto A\,h=f'(z_{0})\,h}$
      • ${\displaystyle \ f'(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}(z_{0})+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial z}(z_{0})}$, perquè ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}(z_{0})=0}$.

La caracterització següent de les funcions holomorfes és una conseqüència immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.

Teorema: una funció ${\displaystyle \ f:U\to \mathbb {C} }$ és holomorfa en l'obert U de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ si i només si:

1. és diferenciable en sentit real en tot punt de U,
2. i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U

• La funció ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto {\bar {z}$ és (almenys) de classe ${\displaystyle \ C^{1}$ en ${\displaystyle \mathbb {C} }$, per tant hi és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable; però no és ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en cap punt, perquè no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que ${\displaystyle \ f(z)=x-\,i\,y}$:
  • ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial x}(z)=1}$
  • ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial y}(z)=-i}$: per a tot ${\displaystyle \ z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial y}(z)\neq i\ {\frac {\partial f}{\partial x}(z)}$.
• La funció ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto |z|^{2}$ és (almenys) de classe ${\displaystyle \ C^{1}$ en ${\displaystyle \mathbb {C} }$, per tant hi és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable; és ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en 0 i només en aquest punt (no és holomorfa en cap obert: el conjunt ${\displaystyle \ \{0\}$ dels seus punts de ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciabilitat té interior buit).
• La funció ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{2}$ és holomorfa en ${\displaystyle \mathbb {C} }$ i per a tot ${\displaystyle \ z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \ f'(z)=2\,z}$. En efecte, si ${\displaystyle \ z_{0}\in \mathbb {C} }$ i ${\displaystyle \ h\in \mathbb {C} ^{*}$, ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=2\ z_{0}+h\to 2\,z_{0}$ quan ${\displaystyle \ h\to 0}$. Es té ${\displaystyle \ f(z)=x^{2}-y^{2}+2\,i\,x\,y}$, per tant:
  • ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial x}(z)=2\,x+2\,i\,y=2\,z}$
  • ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial y}(z)=-2\,y+2\,i\,x=2\,i\,z=i\ {\frac {\partial f}{\partial x}(z)}$ (equacions de Cauchy-Riemann en z).

Se sap que tota funció holomorfa en un obert té derivades parcials contínues en aquest obert (això no forma part de la definició; la continuïtat de les derivades parcials i àdhuc el caràcter infinitament diferenciable de la funció és una conseqüència de la teoria de Cauchy). Tanmateix, és possible que una funció diferenciable compleixi les equacions de Cauchy-Riemann en un conjunt no obert (per exemple en un únic punt) i que les seves derivades parcials no siguin contínues.

Contraexemple

Una funció ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en ${\displaystyle \mathbb {C} }$ i ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en 0, les derivades parcials de la qual no són contínues en 0.

• Es defineix ${\displaystyle \ f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$:
  • ${\displaystyle f(z)=x\,y\sin {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}$ si ${\displaystyle \ z\neq 0}$
  • ${\displaystyle \ f(0)=0}$
• La funció ${\displaystyle \ f}$ és (almenys) de classe ${\displaystyle \ C^{1}$ en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}$; per tant, és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}$.
• ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ^{*}$, ${\displaystyle \ |f(z)|\leq |x\,y|\leq {\frac {1}{2}\,\left(x^{2}+y^{2}\right)={\frac {1}{2}\,|z|^{2}$; per tant ${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(0)}{z-0}\right|={\frac {|f(z)|}{|z|}\leq {\frac {1}{2}\,|z|.}$ Se'n dedueix que ${\displaystyle {\frac {f(z)-f(0)}{z-0}\to 0}$ quan ${\displaystyle z\to 0}$: ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {C} }$-diferenciable en 0 i ${\displaystyle \ f'(0)=0}$; a fortiori, ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en 0 i ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial x}(0)=f'(0)=0}$, ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial y}(0)=if'(0)=0}$ (hem provat que ${\displaystyle \ f}$ és ${\displaystyle \mathbb {R} }$-diferenciable en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cup \{0\}=\mathbb {C} }$)
• Si ${\displaystyle \ z\neq 0}$, ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial x}(z)=y\sin {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-{\frac {x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}\cos {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}$.
• Per a tot ${\displaystyle \ k\in \mathbb {N} ^{*}$, sigui ${\displaystyle \ z_{k}={\frac {1+i}{k\,\pi {\sqrt {2}$. Un càlcul elemental dona: per a tot ${\displaystyle \ k\in \mathbb {N} ^{*},{\frac {\partial f}{\partial x}(z_{k})={\frac {(-1)^{k-1}{2^{3/2}$.
• Com que ${\displaystyle \ z_{k}\to 0}$ quan ${\displaystyle k\to +\infty }$ i ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}(z_{k})}$ no convergeix cap a ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}(0)=0}$, la funció ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial x}$ no és contínua en 0. Es demostra de la mateixa manera que la funció ${\displaystyle \ {\frac {\partial f}{\partial y}$ tampoc no és contínua en 0.

• Burckel, Robert B. (1979), An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1, Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Math. Reihe, vol. 64, Basel–Stuttgart–New York–Tokyo: Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-0989-X.
• Hörmander, Lars (1990), An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North–Holland Mathematical Library, vol. 7 (3rd ed.), Amsterdam–London–New York–Tokyo: North-Holland, Zbl: 0685.32001, ISBN 0-444-88446-7.