معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط که به احترام آگوستین لویی کوشی و برنارد ریمان نام‌گذاری شده‌اند، شامل دستگاهی از دو معادله مشتق جزئی هستند که به همراه شروط پیوستگی و مشتق پذیری(اینکه بخش‌های حقیقی و موهومی تابع – توابع حقیقی
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
مشتقات جزئی پیوسته داشته باشند) شرط لازم و کافی را برای هلومورفیک بودن یک تابع فراهم می‌کنند. دراین صورت برقراری معادلات، معادل می‌شود با تحلیلی بودن تابع مختلط . این مجموعه از معادلات اولین بار در کارهای دالامبر در ۱۷۵۲ ظاهر شد. بعداً در ۱۷۷۷، لئونارد اویلر این مجموعه را به توابع تحلیلی متصل کرد. کوشی این معادلات را برای ساخت تئوری توابع خود در ۱۸۱۴ به کار برد. رسالهٔ کوشی در مورد تئوری توابع در ۱۸۵۱ منتشر شد.
در برخی منابع گفته شده که ابن هیثم حالتی از معادلات کوشی-ریمان را زودتر در قرن ۱۰-۱۱ میلادی مطرح کرده بود
[ ۱]
فرض کنید f (x + iy ) = u + iv مجموعه باز از اعداد مختلط
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
حقیقی اند (
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}
و
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}
هستند، صدق کنند.
با یک فرمول بندی مختلط طبیعی، بینش هندسی بهتری به وجود می‌آید:
i
∂
f
∂
x
=
∂
f
∂
y
.
{\displaystyle {i{\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}.}
با توجه به معالات، اگر
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
فرض کنید مختلط
f
{\displaystyle f}
D تحلیلی باشد. آنگاه
f
{\displaystyle f}
f
(
x
+
i
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}
∂
v
∂
x
=
−
∂
u
∂
y
{\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-{\partial u \over \partial y}
اکنون فرض کنید
f
¯
{\displaystyle {\bar {f}
D تحلیلی است. آنگاه چون
f
¯
(
x
+
i
y
)
=
u
(
x
,
y
)
−
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\bar {f}(x+iy)=u(x,y)-iv(x,y)}
∂
u
∂
x
=
−
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}=-{\partial v \over \partial y}
∂
v
∂
x
=
∂
u
∂
y
{\displaystyle {\partial v \over \partial x}={\partial u \over \partial y}
با ترکیب کردنشان با معادلات قبلی داریم:
∂
u
∂
x
=
∂
u
∂
y
=
∂
v
∂
x
=
∂
v
∂
y
=
0
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial u \over \partial y}={\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=0}
این نشان می‌دهد که
f
{\displaystyle f}
D به‌طور محلب ثابت است، و ثابت است اگر D همبند باشد.
تابع f (z ) = u (x , y ) + i v (x ,
y )C را در نظر بگیرید. می‌خواهیم مشتق آن را در نقطهٔ z 0 محاسبه کنیم. می‌توانیم در جهت محور حقیقی به z 0 نزدیک شویم یا در جهت محور موهومی.
اگر از مسیر اول برویم:
f
′
(
z
)
{\displaystyle f'(z)\,}
=
lim
h
→
0
f
(
z
+
h
)
−
f
(
z
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+h)-f(z) \over h}
=
lim
h
→
0
u
(
x
+
h
,
y
)
+
i
v
(
x
+
h
,
y
)
−
[
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
]
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over h}
=
lim
h
→
0
[
u
(
x
+
h
,
y
)
−
u
(
x
,
y
)
]
+
i
[
v
(
x
+
h
,
y
)
−
v
(
x
,
y
)
]
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)] \over h}
=
lim
h
→
0
[
u
(
x
+
h
,
y
)
−
u
(
x
,
y
)
h
+
i
v
(
x
+
h
,
y
)
−
v
(
x
,
y
)
h
]
.
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i{\frac {v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]}.}
حالا این به شکل دو معادلهٔ دیفرانسیل است؛ بنابراین:
f
′
(
z
)
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle f'(z)={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}.}
با استفاده از مسیر دوم داریم:
f
′
(
z
)
{\displaystyle f'(z)\,}
=
lim
h
→
0
f
(
z
+
i
h
)
−
f
(
z
)
i
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{f(z+ih)-f(z) \over ih}
=
lim
h
→
0
u
(
x
,
y
+
h
)
+
i
v
(
x
,
y
+
h
)
−
[
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
]
i
h
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over ih}
=
lim
h
→
0
[
u
(
x
,
y
+
h
)
−
u
(
x
,
y
)
i
h
+
i
v
(
x
,
y
+
h
)
−
v
(
x
,
y
)
i
h
]
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{ih}+i{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}
=
lim
h
→
0
[
−
i
u
(
x
,
y
+
h
)
−
u
(
x
,
y
)
h
+
v
(
x
,
y
+
h
)
−
v
(
x
,
y
)
h
]
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}
=
lim
h
→
0
[
v
(
x
,
y
+
h
)
−
v
(
x
,
y
)
h
−
i
u
(
x
,
y
+
h
)
−
u
(
x
,
y
)
h
]
.
{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.}
مجدداً این نیز به شکل دو معادلهٔ دیفرانسیل است، بنابراین
f
′
(
z
)
=
∂
v
∂
y
−
i
∂
u
∂
y
.
{\displaystyle f'(z)={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}
با برابر گرفتن این دو داریم
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
=
∂
v
∂
y
−
i
∂
u
∂
y
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.}
با برابر گرفتن بخش‌های حقیقی و موهومی، آنگاه
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
◻
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.\quad \square }
فرض کنید
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
x و y . آنگاه می‌توانیم بنویسیم
x
=
(
z
+
z
¯
)
/
2
{\displaystyle x=(z+{\bar {z})/2}
y
=
(
z
−
z
¯
)
/
(
2
i
)
{\displaystyle y=(z-{\bar {z})/(2i)}
x و y توابع حقیقی از متغیرهای مستقل مختلط
z
{\displaystyle {\mathit {z}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}
x و y :
∂
x
∂
z
=
1
2
a
n
d
∂
y
∂
z
=
1
2
i
{\displaystyle {\partial x \over \partial z}={1 \over 2}\ \mathrm {and} \ {\partial y \over \partial z}={1 \over 2i}
همین‌طور
∂
x
∂
z
¯
=
1
2
a
n
d
∂
y
∂
z
¯
=
−
1
2
i
.
{\displaystyle {\partial x \over \partial {\bar {z}={1 \over 2}\ \mathrm {and} \ {\partial y \over \partial {\bar {z}=-{1 \over 2i}.}
با مشتقگیری از تابع
f
(
x
,
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}
∂
f
∂
z
=
∂
f
∂
x
∂
x
∂
z
+
∂
f
∂
y
∂
y
∂
z
a
n
d
∂
f
∂
z
¯
=
∂
f
∂
x
∂
x
∂
z
¯
+
∂
f
∂
y
∂
y
∂
z
¯
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial z}={\partial f \over \partial x}{\partial x \over \partial z}+{\partial f \over \partial y}{\partial y \over \partial z}\ \mathrm {and} \ {\partial f \over \partial {\bar {z}={\partial f \over \partial x}{\partial x \over \partial {\bar {z}+{\partial f \over \partial y}{\partial y \over \partial {\bar {z}.}
نهایتاً با جاگذاری:
∂
f
∂
z
=
1
2
(
∂
f
∂
x
+
1
i
∂
f
∂
y
)
a
n
d
∂
f
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
f
∂
x
−
1
i
∂
f
∂
y
)
.
{\displaystyle {\partial f \over \partial z}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}+{1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right)\ \mathrm {and} \ {\partial f \over \partial {\bar {z}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}-{1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).}
اگر قرار دهیم
∂
f
∂
z
¯
=
0
{\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}=0}
∂
f
∂
x
=
−
i
∂
f
∂
y
{\displaystyle {\partial f \over \partial x}=-i{\partial f \over \partial y}
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
=
−
i
(
∂
u
∂
y
+
i
∂
v
∂
y
)
,
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}=-i\left({\partial u \over \partial y}+i{\partial v \over \partial y}\right),}
که برابر با معادلات کوشی-ریمان است.
با در نظر کرقتن نمایش قطبی
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z=re^{i\theta }
∂
u
∂
r
=
1
r
∂
v
∂
θ
,
{\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },}
∂
v
∂
r
=
−
1
r
∂
u
∂
θ
.
{\displaystyle {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}
و
∂
f
∂
r
=
1
i
r
∂
f
∂
θ
{\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }
که مشتقات روی
r
e
i
θ
{\displaystyle re^{i\theta }
معادلات کوشی-ریمان Generalized Riemann hypothesis
Grand Riemann hypothesis
Grothendieck–Riemann–Roch theorem
Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
Local zeta function
Measurable Riemann mapping theorem
ریمان (دهانه) تنسور ریمان Riemann form
حدس ریمان انتگرال ریمان Riemann invariant
Riemann mapping theorem
Riemann problem
Riemann series theorem
Riemann solver
کره ریمان Riemann sum
رویه ریمانی Riemann Xi function
تابع زتای ریمان Riemann–Hilbert correspondence
Riemann–Hilbert problem
Riemann–Lebesgue lemma
Riemann–Liouville integral
Riemann–Roch theorem
Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
Riemann–Siegel formula
Riemann–Siegel theta function
Riemann–Silberstein vector
انتگرال ریمان–استیلتیس Riemann–von Mangoldt formula
Riemann's differential equation
Riemann's minimal surface
Riemannian circle
Riemannian connection on a surface
هندسه ریمانی
↑ RASHED, ROSHDI; collaboration, in; MORELON, RÉGIS (1996). Encyclopedia of the History of Arabic Science. doi:10.4324/9780203329030. ISBN 978-0-203-32903-0 .
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85e455e8d0d1daf303fd651e632505e85853a18)
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)] \over h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88145dc21a01bf69c9aef9f77ab9f4514501a799)
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i{\frac {v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae778d062b08d6d9355aaf1d9347c50f91e419c)
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over ih}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0208d101dd7d1c67ec3f599dd53c9788652006c)
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{ih}+i{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539ccd989a8702b22d3e2cb04f90277bbd1c6ff6)
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d042524770e6e866713f281ba00d3a8c7cc438b2)
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\left[{\frac {v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i{\frac {u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c02a5d1aafc4d3686edc094808d78af7c5e25a)
