Extensió de Galois

En matemàtiques, en àlgebra abstracta, una extensió de Galois és una extensió de cos algebraica ${\displaystyle E/F}$ que és normal i separable;^[1] o de manera equivalent, ${\displaystyle E/F}$ és algebraica i el camp fixat pel grup d'automorfismes ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ és precisament el cos base ${\displaystyle F}$.

La importància de ser una extensió de Galois és que l'extensió té un grup de Galois i obeeix al teorema fonamental de la teoria de Galois.^[a]

Un resultat de Emil Artin permet construir extensions de Galois de la següent manera: si ${\displaystyle E}$ és un cos donat, i G és un grup finit d'automorfismes de ${\displaystyle E}$ amb camp fix ${\displaystyle F}$, llavors ${\displaystyle E/F}$ és una extensió de Galois.^[2]

Caracterització de les extensions de Galois

Un teorema important d'Emil Artin afirma que per a una extensió finita ${\displaystyle E/F,}$ cadascuna de les afirmacions següents és equivalent a l'enunciat que ${\displaystyle E/F}$ és Galois:

• ${\displaystyle E/F}$ és una extensió normal i una extensió separable.
• ${\displaystyle E}$ és un cos de descomposició d'un polinomi separable amb coeficients en ${\displaystyle F.}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],}$ és a dir, el nombre d'automorfismes és igual al grau de l'extensió.

Altres declaracions equivalents són:

• Tots els polinomis irreductibles a ${\displaystyle F[x]}$ amb almenys una arrel a ${\displaystyle E}$ es divideixen en ${\displaystyle E}$ i són separables.
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],}$ és a dir, el nombre d'automorfismes és almenys el grau d'extensió.
• ${\displaystyle F}$ és el cos fix d'un subgrup de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E).}$
• ${\displaystyle F}$ és el cos fix de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$
• Hi ha un correspondència un a un entre subcossos de ${\displaystyle E/F}$ i subgrups de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Exemples

Hi ha dues maneres bàsiques de construir exemples d'extensions de Galois.

• Agafeu qualsevol cos ${\displaystyle E}$, qualsevol subgrup de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$, i deixeu que ${\displaystyle F}$ sigui el cos fix.
• Agafeu qualsevol cos ${\displaystyle F}$, qualsevol polinomi separable a ${\displaystyle F[x]}$, i deixeu que ${\displaystyle E}$ sigui el seu cos de descomposició.

Afegint al cos de nombres racionals l'arrel quadrada de 2 dóna una extensió de Galois, mentre que afegintr l'arrel cúbica de 2 dóna una extensió que no és Galois. Aquestes dues extensions són separables, perquè tenen característica zero. El primer d'ells és el cos de divisió de ${\displaystyle x^{2}-2}$; el segon té tancament normal que inclou el complex arrel cúbica d'unitat, i per tant no és un cos de descomposició. De fet, no té cap automorfisme més que la identitat, perquè està contingut en els nombres reals i ${\displaystyle x^{3}-2}$ només té una arrel real.

Per a exemples més detallats, vegeu el teorema fonamental de la teoria de Galois.

Una cloenda algebraica ${\displaystyle {\bar {K}$ d'un cos arbitrari ${\displaystyle K}$ és Galois sobre ${\displaystyle K}$ si i només si ${\displaystyle K}$ és un cos perfecte.

Notes

Referències

Bibliografia

Enllaços externs

• Pop, Florian. «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF) (en anglès). Penn Arts & Sciencies, 2001.