![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Crystal128-pipe.svg/25px-Crystal128-pipe.svg.png) |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.
Considerant una equació diferencial ordinària de la forma:
![{\displaystyle y'+a(x)y=b(x)\quad \quad \quad (1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b136e41231c026e47c9f6dc8aed566c3984ea3)
on
és una funció desconeguda de
, i
i
són funcions donades.
El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.
Consident una funció
. Es multipliquen ambdues bandes de (1) per
![{\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\quad \quad \quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15276b01aa6f86d106164dfaf3237b0ff12f5480)
Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a
![{\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)\quad \quad \quad (3)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7b5f6077407a66eb907701592f1ece9241297a)
I això es pot integrar,
![{\displaystyle y(x)M(x)=\int \limits _{}^{}\!b(x)M(x)\,dx+C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9114563e15342c2fdbc4b3b6d4fdd6c89f093f18)
on
és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per
![{\displaystyle y(x)={\frac {\int \limits _{}^{}\!b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c007002d01c0d11fcad1a37d09365b439cadc49)
Tanmateix, per resoldre explícitament per
es necessita trobar l'expressió de
Es pot deduir de (2) que
obeeix l'equació diferencial
![{\displaystyle M'(x)-a(x)M(x)=0\quad \quad \quad (4)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad13f6259ac9fac75f9ad62a6057ea95753ef069)
Per aconseguir
, es divideixen les dues bandes per
![{\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}-a(x)=0\quad \quad \quad (5)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c7d298b41f419eb6f524e4c449a0c044f569c0)
L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté
![{\displaystyle M(x)=e^{\int \limits _{}^{}\!a(x)\,dx}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2225d19c770e9b6b648c7acc81e3d22ba4ec09)
Es pot veure que multiplicar per
i la propietat
són essencials per resoldre aquesta equació diferencial.
s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).
Exemple
Donada l'equació diferencial
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee561be858232d5488f46aa0a9239cab563f953)
Es pot observar que en aquest cas
![{\displaystyle M(x)=e^{\int \limits _{}^{}\!a(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471c66851ab1a00f12d4f8c0c63d9eef68e2c606)
![{\displaystyle M(x)=e^{\int \limits _{}^{}\!{\frac {-2}{x}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77caefaf0a792c423070e6245b5ef358b8016cf4)
![{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390d70fb14a594a0a95a9afdbb9704cb271dac95)
Multiplicant ambdues bandes per
s'obté
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}-{\frac {2y}{x^{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
![{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}\right)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316)
o bé
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f9ccbd2b76dfc4ef7e7c8b8b35e530acc78f0)
que dona
![{\displaystyle y(x)=Cx^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c6fffa4b58ad3938d0c560fb2713c2e89382c)
Vegeu també