Në matematikë, një faktor integrues është një funksion që zgjidhet për të lehtësuar zgjidhjen e një ekuacioni të caktuar që përfshin diferenciale . Përdoret zakonisht për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (EDZ), por përdoret gjithashtu brenda llogaritjeve me shumë ndryshore kur shumëzimi me një faktor integrues lejon që një diferencial i pasaktë të shndërrohet në një diferencial të saktë (i cili më pas mund të integrohet për të dhënë një fushë skalare ). Kjo është veçanërisht e dobishme në termodinamikë ku temperatura bëhet faktori integrues që e bën entropinë një diferencial të saktë.
Përdorni
Një faktor integrues është çdo shprehje me të cilën shumëzohet një ekuacion diferencial për të lehtësuar integrimin. Për shembull, ekuacioni jolinear i rendit të dytë
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}=Ay^{2/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82a4a72314fc7307a6d6d2e2c34e581a096725f)
ka për faktor integrues
:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}{\frac {dy}{dt}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d35c132ba56403e6f0f16071281c30777350a38)
Për t'u integruar, vini re se të dyja anët e ekuacionit mund të shprehen si derivate duke shkuar mbrapa me rregullin zinxhir :
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}\left({\frac {1}{2}\left({\frac {dy}{dt}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}\left(A{\frac {3}{5}y^{5/3}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e567802715be80fe933eb215ecdc41176f7be20)
Atëherë,
![{\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}\right)^{2}={\frac {6A}{5}y^{5/3}+C_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bcc0625be16f7ef42561b0a700639cd8bdb7c6)
ku
është një konstante.
Kjo trajtë mund të jetë më e dobishme, në varësi të zbatimit. Kryerja e një ndarje të ndryshoreve do të japë
![{\displaystyle \int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {\frac {6A}{5}y^{5/3}+C_{0}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c8d23b4b54973f372d9799323cbed7e1755507)
Kjo është një zgjidhje e nënkuptuar që përfshin një integral jo-elementar . E njëjta metodë përdoret për të zgjidhur ekuacionin e periodës së një lavjerrësi të thjeshtë.
Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të parë
Faktorët integrues janë të dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme që mund të shprehen në trajtën
![{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f547fb4f66c5d0ac5204869367a4854edb16251)
Ideja themelore është të gjesh një funksion, le të themi
, i quajtur "faktori integrues", të cilin ne mund ta shumëzojmë në të dyja anët ekuacionit tonë diferencial në mënyrë që të sjellim anën e majtë nën një derivat të përbashkët. Për ekuacionin diferencial linear kanonik të rendit të parë të paraqitur më sipër, faktori integrues është
.
Le të jetë
faktori integrues i një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë i tillë që shumëzimi me
të transformojë një derivat të pjesshëm në një derivat të plotë, atëherë:
![{\displaystyle M(x){\underset {\text{partial derivative}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e66efe8749d5136d52c88a85fd6460ce652951b)
![{\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83afbe8530d188dfb1819c918ff9e4b4110192b3)
![{\displaystyle \underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{total derivative}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063e61a2e91a8fdf3fa7a1ac78d6c3c34734f213)
Kalimi nga hapi 2 në hapin 3 e kërkon që
, i cili është një ekuacion diferencial i ndashëm, zgjidhja e të cilit jep
ne kushtet e
:
-
![{\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c4224650d1d749d63316651331c520f5885851)
![{\displaystyle P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5bc480cd774a5d24d6114b1bab107d5d33d54d)
![{\displaystyle \int P(x)\,dx=\ln M(x)+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8f1cf4f4a3b96fdcb124a3a7eb4ff60f7be562)
![{\displaystyle M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065320c334ee95f8f08c2f6ba3d2e638796c0328)
Për të verifikuar, duke shumëzuar me
jep
![{\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b5d96885589ed7e30add15d0ad0384e1cd714f)
Duke zbatuar rregullin e produktit në të kundërt, shohim se ana e majtë mund të shprehet si një derivat i vetëm në
![{\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}(M(x)y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b602815f0ce10197a78c0419df2b75cc100ef279)
Ne e përdorim këtë fakt për të thjeshtuar shprehjen tonë
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbdd865f95b49b86d08e46a946c80a78b031476)
Integrimi i të dyja anëve sipas
jep
![{\displaystyle Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fca7b5ebc5aa923c9159e8159237f65c08e50e9)
![{\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bb6437eebdad49ab170ca7f7e5acdf4d115191)
ku
është një konstante.
Duke kaluar eksponencialin në anën e djathtë, zgjidhja e përgjithshme për ekuacionin diferencial të zakonshëm është:
![{\displaystyle y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a97ed8647fb22713ed6297894472b69ff0ff69)
Në rastin e një ekuacioni diferencial homogjen,
dhe zgjidhja e përgjithshme për EDZnë është:
.
për shembull, konsideroni ekuacionin diferencial
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2519160bb1d703086ff92b5e917deb44c4d13681)
Këtë mund ta shohim se në këtë rast
![{\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf86ca0b69f1e6bd42562e2fba26ec5616132e4)
![{\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821f1c79ea252e9fca9b4f234312438c3e1977c5)
![{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f241a0a2a0468d8442b40f28d40101a926bc64)
Duke shumëzuar të dyja anët me
marrim
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}-{\frac {2y}{x^{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
Ekuacioni i mësipërm mund të rishkruhet si
![{\displaystyle {\frac {d(x^{-2}y)}{dx}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b825a85e35be377e814f737868dfd386532b373f)
Duke integruar të dyja anët në lidhje me
, ne marrim
![{\displaystyle x^{-2}y=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14625340476316f666e7ae9d6413e90dd316a8a)
ose
![{\displaystyle y=Cx^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febf208abed88e4e846b90590c128f85f29425fd)
I njëjti rezultat mund të arrihet duke përdorur metodën e mëposhtme
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}-{\frac {2y}{x^{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
![{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7a67d6c2b5967f353f3b63d4733add62063972)
![{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f44a7c2e0dd856780ae9474801b318072fd7bdf)
![{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f3a31e4ebf57eecb7330af28f33ce0ddb1855e)
Kthimi i rregullës së herësit jep
![{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}\right)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316)
ose
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}=C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b94b28094a15e44b791b479736a567abcafe84)
ose
![{\displaystyle y=Cx^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de5e1d5bfbfeae060e618f3ed6d42c6943466cc)
ku
është një konstante.
Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të dytë
Metoda e faktorëve të integrimit për ekuacionet e rendit të parë mund të shtrihet natyrshëm edhe tek ekuacionet e rendit të dytë. Qëllimi kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të parë ishte gjetja e një faktori integrues
të tillë që duke u shumëzuar
nga ajo do të merrej
, pas së cilës integrimi dhe pjesëtimi pasuese me
do të jepte
. Për ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë, nëse duam
të funksionojë si një faktor integrues, atëherë
![{\displaystyle (M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b17185b770314f9095c9b6515f203e14e640ea4)
Kjo nënkupton që një ekuacion i rendit të dytë duhet të jetë saktësisht në formë
që faktori integrues të jetë i përdorshëm.
Shembulli 1
Për shembull, ekuacioni diferencial
![{\displaystyle y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae6eec8546d151b458eb286272f7ce366164c7b)
mund të zgjidhet pikërisht me faktorë integrues. Funksioni i përshtatshëm
mund të konkludohet duke shqyrtuar kufizën
. Në këtë rast,
, kështu që
. Pas ekzaminimit të kufizës
, ne shohim se ne në fakt kemi
, kështu që ne do t'i shumëzojmë të gjitha kufizat me faktorin integrues
. Kjo na jep
![{\displaystyle e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a5a741c7b6696ff79a2df1933f7c0f985019e6)
të cilat mund të riorganizohen për të dhënë
![{\displaystyle \left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a700a6256086a87a743484770427003b929354d9)
Integrimi dy herë jep
![{\displaystyle e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b5f54b19c7eec3540f55c847aba8cffccbab96)
Pjestimi me faktorin integrues jep:
![{\displaystyle y={\frac {c_{1}x+c_{2}{e^{x^{2}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad017596f50bf71492b4f717939fc6da65dcd11)
Shembulli 2
Një zbatim pak më pak i dukshëm i faktorëve integrues të rendit të dytë përfshin ekuacionin diferencial të mëposhtëm:
![{\displaystyle y''+2\cot(x)y'-y=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539aa752f39b43e27a3018811696d26b51df2191)
Në pamje të parë, duket qartë se kjo nuk është në formën e nevojshme për faktorët integrues të rendit të dytë. Ne kemi një kufizë
përpara
por jo
para
. Megjithatë,
![{\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17818165ac40d157dc6279eb897e86a7885573e)
dhe nga identiteti pitagorian që lidhet me
dhe
,
![{\displaystyle \cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b9adfc8a2194f9a101254fce84c167e507ce16)
kështu që ne në fakt kemi kufizën e kërkuar para
dhe mund të përdorim faktorin integrues.
![{\displaystyle e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d447edfb947618a99f5505cf4656b22e0d528505)
Duke shumëzuar çdo kufizë me
jep
![{\displaystyle \sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41052758b422eef40c166d5bd37c7d67ac898b1f)
e cila është riorganizuar si
![{\displaystyle (\sin(x)y)''=\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83d43b9c3485252b81ad0f8b39c17c8864f293e)
Integrimi dy herë jep
![{\displaystyle \sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3dea3601f412cfe06882d53df62e8e572cd8e12)
Së fundmi, pjesëtimi me faktorin integrues jep
![{\displaystyle y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e506d95b79ec1d74540f00ab03df9af08161fe)